地球形状与重力场模型

地球真实形状：

地球真实不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体

概述：通常，在大地测量等领域，一般有三个面：
1、在其上进行测量的地球物理表面；
2、在其上进行数学运算的旋转椭球面；
3、大地水准面(即地球重力场的一个等位面)；
因此，对于不同的参考面有不同的重力模型，当然也有不同的应用背景。

在地球的大地水准体描述中，水准体表面是地球实际重力场的一个等位面，每一点的重力方向均与该点所在等位面相垂直，实际的重力方向一般称为天文垂线，或称真垂线。由于实际地球内部密度分布不均匀，并且表面凹凸不平，大地水准面不规则，因而实际重力的大小和方向也不规则。与地球的几何形状描述类似，也希望使用一个简单的数学函数来拟合地球重力场，这个简单函数表示的重力场就称为正常重力场。

重力是地球万有引力和离心力共同作用的结果，参见图，在 P 点处，重力矢量G 是引力矢量F和离心力矢量 F的合力。

1．圆球假设下的地球重力

若将地球视为圆球体并且认为密度均匀分布，那么地球引力指向地心，根据牛顿万有引力定律，地球对其表面或外部单位质点的引力大小为

其中， G 为万有引力常数， M 为地球质量，记μ=GM为地心引力常数， r 为质点至地心的距离。

由于地球绕其极轴存在自转角速率ωie ，使得与地球表面固连的单位质点受到离心力的作用，其大小为

其中，R为圆球半径，L是地理纬度（在圆球假设中即为地心纬度）。重力是引力与离心力的合力，引力与离心力之间的夹角为 π -L ，根据余弦定理，在纬度为L的地方上P点的重力大小为：

实践表明，基于圆球假设的重力公式(如上)与实际椭球地球相比，在高纬度地区偏小将近 2mg，部分原因归结于实际椭球地球在高纬度地区半径缩小，实际引力增大。为了更精确地计算正常重力值，需要在椭球条件下进行重力推导。

2、旋转椭球假设下的地球重力

对于地球旋转椭球体，假设在椭球表面上重力矢量处处垂直于表面，也就是说，旋转椭球表面为重力的一个等位面，意大利人索密里安（ Somigliana）于 1929 年经过严密推导（过程比较复杂，从略），获得了旋转椭球体的正常重力公式，如下

其中，Re 和Rp分别为旋转椭球的赤道长半轴和极轴短半轴，ge 和 gp 分别为赤道重力和极点重力， gL 为地理纬度 L 处椭球表面的重力大小。对于赤道重力ge 和极点重力 gp，近似有

最终简化结果如下：

其中：

3、重力与海拔高度的关系：

在地球表面附近的重力场中，引力与离心力相比前者占主要成分，重力随海拔高度增加而减小，其变化规律与引力随距离增加而减小的规律近似相同。分析高度影响时，不妨将地球近似成圆球且质量集中在地心，地球对高度为 h 的单位质点的引力为

对上式两边同时微分，得

其中：

综合式维度和海拔高度来看，可求得地球表面附近正常重力随纬度和高度变化的实用计算公式，即在大地坐标处的重力值，记为

参考：

捷联惯导算法与组合导航讲义