P3352 [ZJOI2016]线段树

(^ w ^)

题目描述
小Yuuka遇到了一个题目：有一个序列a_1,a_2,?,a_n，q次操作，每次把一个区间内的数改成区间内的最大值，问最后每个数是多少。小Yuuka很快地就使用了线段树解决了这个问题。

于是充满智慧的小Yuuka想，如果操作是随机的，即在这q次操作中每次等概率随机地选择一个区间l,r，然后将这个区间内的数改成区间内最大值（注意这样的区间共有(n(n+1))/2个），最后每个数的期望大小是多少呢？小Yuuka非常热爱随机，所以她给出的输入序列也是随机的（随机方式见数据规模和约定）。对于每个数，输出它的期望乘((n(n+1))/2)^q再对109+7取模的值。

输入输出格式
输入格式：
第一行包含2个正整数n,q，表示序列里数的个数和操作的个数。接下来1行，包含n个非负整数a1,a2…an。N<=400,Q<=400

输出格式：
输出共1行，包含n个整数，表示每个数的答案

输入输出样例
输入样例#1：

5 5
1 5 2 3 4

输出样例#1：

3152671 3796875 3692207 3623487 3515626

题解

换而言之就是求每个点所有区间组合之后结果之和。

我们注意到这显然是一个dp题，所以要思考一个状态之和。

fj,i,x,y\ f_{j,i,x,y} fj,i,x,y表示进行i\ i i此操作后，区间[x,y]\ [x,y] [x,y]内，所有元素≤j\ \le j ≤j，ay+1,ax−1≥j\ a_{y+1},a_{x-1} \ge j ay+1,ax−1≥j的方案数，gi,j\ g _{i,j} gi,j表示不横跨i\ i i，j\ j j的区间的方案数。
我们可得一下dp式。
fs,i,x,y=fs,i−1,x,y⋅gx,y+∑j=1y−1fs,i−1,j,y⋅(j−1)+∑k=x+1nfs,i−1,x,k⋅(n−k)gx,y=x(x−1)2+(y−x+1)(y−x+2)2+(n−y)(n−y+1)2f_{s,i,x,y}=f_{s,i-1,x,y} \cdot g_{x,y} + \sum_{j=1}^{y-1} f_{s,i-1,j,y} \cdot (j-1) +\sum_{k=x+1}^{n} f_{s,i-1,x,k} \cdot (n-k) \\ g_{x,y}= \frac{x(x-1)}{2} + \frac{(y-x+1)(y-x+2)}{2} + \frac{(n-y)(n-y+1)}{2} fs,i,x,y=fs,i−1,x,y⋅gx,y+j=1∑y−1fs,i−1,j,y⋅(j−1)+k=x+1∑nfs,i−1,x,k⋅(n−k)gx,y=2x(x−1)+2(y−x+1)(y−x+2)+2(n−y)(n−y+1)

由此可以想到一个O(n4\ n^{4} n4)的算法：离散化之后枚举，这显然是不好过的。然而有人卡过了。所以我们要像一个更优的算法。
我们发现第一维是固定的，式子也几乎不和第一维相关，所以我们改用其他状态。

fi,x,y\ f_{i,x,y} fi,x,y表示所有的第一维方案数之和。

转移式与之前完全相同：

fi,x,y=fi−1,x,y⋅gx,y+∑j=1y−1fi−1,j,y⋅(j−1)+∑k=x+1nfi−1,x,k⋅(n−k)gx,y=x(x−1)2+(y−x+1)(y−x+2)2+(n−y)(n−y+1)2f_{i,x,y}=f_{i-1,x,y} \cdot g_{x,y} + \sum_{j=1}^{y-1} f_{i-1,j,y} \cdot (j-1) +\sum_{k=x+1}^{n} f_{i-1,x,k} \cdot (n-k) \\ g_{x,y}= \frac{x(x-1)}{2} + \frac{(y-x+1)(y-x+2)}{2} + \frac{(n-y)(n-y+1)}{2} fi,x,y=fi−1,x,y⋅gx,y+j=1∑y−1fi−1,j,y⋅(j−1)+k=x+1∑nfi−1,x,k⋅(n−k)gx,y=2x(x−1)+2(y−x+1)(y−x+2)+2(n−y)(n−y+1)

复杂度O(n3\ n^{3} n3).

AC代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
int n,q,a[410];
long long f[2][410][410],sum1[2][410][410],sum2[2][410][410],g[410][410];
bool cmp(const int &x,const int &y)
{return a[x]<a[y];
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&q);int i=1,r=0,j=0,k=0;a[0]=2000000000;a[n+1]=2000000000;while(i<=n){scanf("%d",&a[i]);++i;}i=1;while(i<=n){r=0;j=i;while(j<=n){g[i][j]=i*(i-1)/2+(n-j)*(n-j+1)/2+(j-i+1)*(j-i+2)/2;r=max(r,a[j]);if((i==1)&&(j==n)) f[0][i][j]=r;else if((a[i-1]>r)&&(a[j+1]>r)) f[0][i][j]=(r-min(a[i-1],a[j+1])+mod)%mod;++j;}++i;}int now=1,last=0;i=1;while(i<=q){j=1;while(j<=n){k=n;while(k>=j){sum2[last][j][k]=(sum2[last][j][k+1]+f[last][j][k]*(n-k))%mod;--k;}++j;}j=1;while(j<=n){k=j;while(k<=n){sum1[last][j][k]=(sum1[last][j-1][k]+f[last][j][k]*(j-1))%mod;f[now][j][k]=(f[last][j][k]*g[j][k]+sum1[last][j-1][k]+sum2[last][j][k+1])%mod;++k;}++j;}now^=1;last^=1;++i;}long long ss=0;i=1;while(i<=n){ss=0;j=1;while(j<=i){k=i;while(k<=n){ss+=f[q&1][j][k];ss%=mod;++k;}++j;}printf("%lld ",ss);++i;}return 0;
}
/*
1996年：东方灵异传（TOH1）
1997年：东方封魔录（TOH2）
1997年：东方梦时空（TOH3）
1998年：东方幻想乡（TOH4）
1998年：东方怪绮谈（TOH5）
2002年：东方红魔乡（TOH6）
2003年：东方妖妖梦（TOH7）
2004年：东方萃梦想（TOH7.5）
2004年：东方永夜抄（TOH8）
2005年：东方花映冢（TOH9）
2005年：东方文花帖（TOH9.5）
2007年：东方风神录（TOH10）
2008年：东方绯想天（TOH10.5）
2008年：东方地灵殿（TOH11）
2009年：东方星莲船（TOH12）
2009年：东方非想天则（TOH12.3）
2010年：东方文花帖DS（TOH12.5）
2010年：东方三月精（TOH12.8）
2011年：东方神灵庙（TOH13）
2013年：东方心绮楼（TOH13.5）
2013年：东方辉针城（TOH14）
2014年：弹幕天邪鬼（TOH14.3）
2014年：东方深秘录（TOH14.5）
2015年：东方绀珠传（TOH15）
2017年：东方凭依华（TOH15.5）
2017年：东方天空璋（TOH16）
*/

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