洛谷 - P2617 Dynamic Rankings(树状数组套主席树)

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题目大意：给出一个长度为 n 的数列 a，再给出 m 次操作：

Q l r k：返回区间 [ l , r ] 内第 k 大的数
C x y：令 a[ x ] = y

题目分析：其实就是带修主席树。。考虑静态主席树，维护的是一个线段树的前缀和，如果强行修改的话，修改一次的最坏时间复杂度将高达 nlogn，完成 m 次操作后的时间复杂度为 nmlogn，还不如直接暴力去区间里找呢。。直接暴力的话时间复杂度也才 n * m

所以为了尽可能去平衡查询和修改的时间复杂度，考虑用树状数组维护前缀和，树状数组维护普通数组的前缀和，只需要维护 lowbit 位置的 logn 个点，将数组换成主席树，也就只需要维护 logn 条链即可，这样查询和修改的时间复杂度都是 nlog^2n

注意，时空复杂度都是 nlog^2n，所以主席树的空间应该开 1e5 * log( 1e5 ) * log( 1e5 ) ≈ 400N，本来是想直接开 1e5 * log( 1e5 ) * log( 1e9 ) 的，这样就不用离散化了，可惜空间不太够用，所以只能去离线然后乖乖离散化了

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e5+100;struct Qu
{char op[5];int a,b,c;
}q[N];int a[N],n,m,len;struct Node
{int l,r;int sum;
}tree[N*640];int cnt,root[N],num[2],temp[2][20];int lowbit(int x)
{return x&(-x);
}void update(int num,int &k,int l,int r,int val)
{tree[cnt++]=tree[k];k=cnt-1;tree[k].sum+=val;if(l==r)return;int mid=l+r>>1;if(num<=mid)update(num,tree[k].l,l,mid,val);elseupdate(num,tree[k].r,mid+1,r,val);
}void add(int pos,int val)
{for(int i=pos;i<=n;i+=lowbit(i))update(a[pos],root[i],1,len,val);
}int query(int l,int r,int k)
{if(l==r)return l;int sum=0;for(int i=1;i<=num[1];i++)sum+=tree[tree[temp[1][i]].l].sum;for(int i=1;i<=num[0];i++)sum-=tree[tree[temp[0][i]].l].sum;int mid=l+r>>1;if(k<=sum){for(int i=1;i<=num[1];i++)temp[1][i]=tree[temp[1][i]].l;for(int i=1;i<=num[0];i++)temp[0][i]=tree[temp[0][i]].l;return query(l,mid,k);}else{for(int i=1;i<=num[1];i++)temp[1][i]=tree[temp[1][i]].r;for(int i=1;i<=num[0];i++)temp[0][i]=tree[temp[0][i]].r;return query(mid+1,r,k-sum);}
}int ask(int l,int r,int k)
{num[0]=num[1]=0;for(int i=l-1;i>0;i-=lowbit(i))temp[0][++num[0]]=root[i];for(int i=r;i>0;i-=lowbit(i))temp[1][++num[1]]=root[i];return query(1,len,k);
}vector<int>node;int get_id(int x)
{return lower_bound(node.begin(),node.end(),x)-node.begin()+1;
}void discreate()
{sort(node.begin(),node.end());node.erase(unique(node.begin(),node.end()),node.end());len=node.size();for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=get_id(a[i]);for(int i=1;i<=m;i++)if(q[i].op[0]=='C')q[i].b=get_id(q[i].b);
}void init()
{root[0]=0;tree[0].l=tree[0].r=tree[0].sum=0;cnt=1;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",a+i);node.push_back(a[i]);}for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%s",q[i].op);if(q[i].op[0]=='C'){scanf("%d%d",&q[i].a,&q[i].b);node.push_back(q[i].b);}elsescanf("%d%d%d",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].c); }discreate();for(int i=1;i<=n;i++)add(i,1);  for(int i=1;i<=m;i++){if(q[i].op[0]=='Q'){printf("%d\n",node[ask(q[i].a,q[i].b,q[i].c)-1]);}else{add(q[i].a,-1);a[q[i].a]=q[i].b;add(q[i].a,1);}}return 0;
}

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