【Practical】积分第一中值定理

【定理描述】若函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 连续，g(x)g(x)g(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 不变号且可积，那么至少存在一个点 η∈[a,b]\eta\in[a,b]η∈[a,b]，使得∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\eta)\int_a^bg(x)dx∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx

【证明】函数 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 连续，记其最大值、最小是分别为 M,mM,mM,m，即m≤f(x)≤M(1)m≤f(x)≤M\tag{1}m≤f(x)≤M(1)由于 g(x)g(x)g(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 不变号，不妨认为 g(x)≥0g(x)≥0g(x)≥0，(1)(1)(1) 式乘以 g(x)g(x)g(x)，得mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)(2)mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)\tag{2}mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)(2)(2)(2)(2) 式在 [a,b][a,b][a,b] 积分，得m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx(3)m\int_a^bg(x)dx≤\int_a^bf(x)g(x)dx≤M\int_a^bg(x)dx\tag{3}m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx(3)若 ∫abg(x)dx=0\int^b_ag(x)dx=0∫abg(x)dx=0，结论显然成立，否则除以该式，得m≤∫abf(x)g(x)dx∫abg(x)dx≤M(4)m≤\frac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int^b_ag(x)dx}≤M\tag{4}m≤∫abg(x)dx∫abf(x)g(x)dx≤M(4)由于 f(x)f(x)f(x) 是连续函数，因此必然存在 η∈[a,b]\eta\in[a,b]η∈[a,b]，使得f(η)=∫abf(x)g(x)dx∫abg(x)dxf(\eta)=\frac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int^b_ag(x)dx}f(η)=∫abg(x)dx∫abf(x)g(x)dx即∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\eta)\int^b_ag(x)dx∫abf(x)g(x)dx=f(η)∫abg(x)dx
g(x)<0g(x)<0g(x)<0情况需要将不等式变号，证明过程一致。

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