勒让德函数(Legendre多项式)

2024-06-21 00:10:22

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勒让德函数
- 定义
勒让德多项式
- 公式
Associated Legendre Function

勒让德函数

定义

勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：
(1−x2)d2P(x)dx2−2xdP(x)dx+n(n+1)P(x)=0(1-x^2)\frac{d^2P(x)}{dx^2} -2x\frac{dP(x)}{dx}+n(n+1)P(x)=0 (1−x2)dx2d2P(x)−2xdxdP(x)+n(n+1)P(x)=0
在球坐标中求解三维拉普拉斯方程时，问题会归结为勒让德方程的求解。

勒让德多项式

公式

n=1、2、3... 时，随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组序列称为勒让德多项式。
勒让德多项式Pn(x)P_n(x)Pn(x)是n项多项式，表示为
Pn(x)=12nn!dndxn[(x2−1)n]P_n(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]Pn(x)=2nn!1dxndn[(x2−1)n]

Associated Legendre Function

我不清楚该怎么翻译了，先这么凑合一下吧。。
Plm(x)=(−1)m(1−x2)m/2dmdxm(Pl(x))P_l^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}(P_l(x))Plm(x)=(−1)m(1−x2)m/2dxmdm(Pl(x))

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