SM2椭圆曲线公钥密码算法的C语言实现（基于Miracl大数运算库）

  • 实验环境
  • 预备知识
    • FpF_pFp​ 及椭圆曲线
      • 素域 FpF_pFp​
      • FpF_pFp​ 上的椭圆曲线
      • FpF_pFp​ 上椭圆曲线系统参数
      • FpF_pFp​ 上椭圆曲线系统参数的验证
    • SM2 公钥密码算法
      • 密钥对的生成
      • FpF_pFp​ 上椭圆曲线公钥的验证
      • SM2 加密算法
      • SM2 解密算法
  • Miracl大数运算库相关函数
  • 程序代码
  • 样例数据测试
  • 注意事项

实验环境

Windows 10，Visual Studio 2019，Miracl大数库

预备知识

FpF_pFp​ 及椭圆曲线

素域 FpF_pFp​

当 qqq 是奇素数 ppp 时，素域 FpF_pFp​ 中的元素用整数 0,1,2,⋯,p−10,1,2,⋯,p-10,1,2,⋯,p−1 表示。说明：

  1. 加法单位元是整数 000
  2. 乘法单位元是整数 111
  3. 域元素的加法是整数的模 ppp 加法，即若 a,b∈Fpa,b∈F_pa,b∈Fp​ ，则 a+b=(a+b)mod pa+b=(a+b) \text { mod } pa+b=(a+b) mod p ；
  4. 域元素的乘法是整数的模 ppp 乘法，即若 a,b∈Fpa,b∈F_pa,b∈Fp​ ，则 a+b=(a⋅b)mod pa+b=(a \cdot b) \text { mod } pa+b=(a⋅b) mod p 。

FpF_pFp​ 上的椭圆曲线

定义在 FpF_pFp​ ( ppp 是大于3的素数)上的椭圆曲线方程为：y2=x3+ax+by^2=x^3+ax+by2=x3+ax+b其中 a,b∈Fpa,b∈F_pa,b∈Fp​ ，且 (4a3+27b2)mod p≠0(4a^3+27b^2 )\text { mod } p≠0(4a3+27b2) mod p​=0

椭圆曲线 E(Fp)E(F_p)E(Fp​) 定义为：
E(Fp)={(x,y)│x,y∈Fp，且满足椭圆曲线方程}⋃{O}E(F_p )=\left\{ (x,y)│x,y∈F_p，\text {且满足椭圆曲线方程}\right\}⋃\left\{O\right\}E(Fp​)={(x,y)│x,y∈Fp​，且满足椭圆曲线方程}⋃{O}，其中O是无穷远点

椭圆曲线E(Fp)E(F_p)E(Fp​)上的点的数目用 #E(Fp)E(F_p)E(Fp​) 表示，称为椭圆曲线 E(Fp)E(F_p)E(Fp​) 的阶。

FpF_pFp​ 上椭圆曲线系统参数

FpF_pFp​ 上椭圆曲线系统参数包括：

  1. 域的规模 q=pq=pq=p，ppp 是大于3的素数；
  2. FpF_pFp​ 中的两个元素 aaa 和 bbb ，它们定义椭圆曲线 EEE 的方程： y2=x3+ax+by^2=x^3+ax+by2=x3+ax+b；
  3. 基点 G=(xG,yG)∈E(Fp)，G≠OG=(x_G,y_G )∈E(F_p)，G≠ΟG=(xG​,yG​)∈E(Fp​)，G​=O；
  4. 基点 GGG 的阶 nnn ，要求：n>2191且 n>4p12n>2^{191} \text{ 且 }n>4p^\frac{1}{2}n>2191 且 n>4p21​。

FpF_pFp​ 上椭圆曲线系统参数的验证

下面的条件应由椭圆曲线系统参数的生成者加以验证。椭圆曲线系统参数的用户可选择验证这些条件。

  1. 验证 q=pq=pq=p 是奇素数
  2. 验证 aaa、bbb、xGx_GxG​ 和 yGy_GyG​ 是区间 [0,p−1][0,p-1][0,p−1] 中的整数；
  3. 验证 (4a3+27b2)mod p≠0(4a^3+27b^2 ) \text { mod } p≠0(4a3+27b2) mod p​=0；
  4. 验证 yG2≡xG3+axG+bmod py_G^2≡x_G^3+ax_G+b \text { mod } pyG2​≡xG3​+axG​+b mod p；
  5. 验证 nnn 是素数，n>2191且 n>4p12n>2^{191} \text{ 且 }n>4p^\frac{1}{2}n>2191 且 n>4p21​；
  6. 验证 [n]G=O[n]G=O[n]G=O。

SM2 公钥密码算法

密钥对的生成

  1. 用随机数生成器产生整数 d∈[1,n−2]d∈[1,n-2]d∈[1,n−2] ；
  2. GGG 为基点，计算点 P=(xP,yP)=[d]GP=(x_P,y_P )=[d]GP=(xP​,yP​)=[d]G ；
  3. 密钥对是 (d,P)(d,P)(d,P) ，其中 ddd 为私钥， PPP 为公钥。

FpF_pFp​ 上椭圆曲线公钥的验证

  1. 验证 PPP 不是无穷远点 OOO ；
  2. 验证公钥 PPP 的坐标 xPx_PxP​ 和 yPy_PyP​ 是域 FpF_pFp​ 中的元素；（即验证 xPx_PxP​ 和 yPy_PyP​ 是区间 [0,p−1][0,p-1][0,p−1] 中的整数。）
  3. 验证 yP2=xP3+ax+bmod p{y_P}^2={x_P}^3+ax+b \text { mod } pyP​2=xP​3+ax+b mod p ；
  4. 验证 [n]P=O[n]P=O[n]P=O 。

SM2 加密算法

设发送方是 A，A 要发送的消息表示成比特串 MMM ，MMM 的长度为 klenklenklen 。加密运算如下：

  1. 选择随机数 k∈[1,n−1]k∈[1,n-1]k∈[1,n−1] ；
  2. 计算椭圆曲线点 C1=[k]G=(x1,y1)C_1=[k]G=(x_1,y_1)C1​=[k]G=(x1​,y1​) ，将 (x1,y1)(x_1,y_1)(x1​,y1​) 表示为比特串；
  3. 计算椭圆曲线点 S=[h]PBS=[h]P_BS=[h]PB​ ，若 SSS 是无穷远点，则报错并退出；
  4. 计算椭圆曲线点 [k]PB=(x2,y2)[k] P_B=(x_2,y_2)[k]PB​=(x2​,y2​) ，将 (x2,y2)(x_2,y_2)(x2​,y2​) 表示为比特串；
  5. 计算 t=KDF(x2∥y2,klen)t=KDF(x_2∥y_2,klen)t=KDF(x2​∥y2​,klen) ，若 ttt 为全为 000 的比特串，则返回步骤1；
  6. 计算 C2=M⊕tC_2=M \oplus tC2​=M⊕t ；
  7. 计算 C3=Hash(x2∥M∥y2)C_3=Hash(x_2∥M∥y_2)C3​=Hash(x2​∥M∥y2​) ；
  8. 输出密文 C=(C1,C2,C3)C=(C_1,C_2,C_3 )C=(C1​,C2​,C3​) 。

其中步骤5 KDF(·)是密钥派生函数，其本质上就是一个伪随机数产生函数，用来产生密钥，取为密码哈希函数 SM3。步骤7的Hash 函数也取为 SM3。

SM2 加密算法流程图如下：

SM2 解密算法

B收到密文后，执行以下解密运算：

  1. 从 CCC 中取出比特串 C1C_1C1​ ，将 C1C_1C1​ 表示为椭圆曲线上的点，验证 C1C_1C1​ 是否满足椭圆曲线方程，若不满足则报错退出；
  2. 计算椭圆曲线点 S=[h]C1S=[h] C_1S=[h]C1​ ，若 SSS 是无穷远点，则报错退出；
  3. 计算 [dB]C1=(x2,y2)[d_B ] C_1=(x_2,y_2 )[dB​]C1​=(x2​,y2​) ，将坐标 (x2,y2)(x_2,y_2)(x2​,y2​) 表示为比特串；
  4. 计算 t=KDF(x2∥y2,klen)t=KDF(x_2∥y_2,klen)t=KDF(x2​∥y2​,klen) ，若 ttt 为全 000 比特串，则报错并退出；
  5. 从 CCC 中取出比特串 C2C_2C2​ ，计算 M’=C2⊕tM’=C_2⊕tM’=C2​⊕t ；
  6. 计算 u=Hash(x2∥M’∥y2)u=Hash(x_2∥M’∥y_2 )u=Hash(x2​∥M’∥y2​) ，从 CCC 中取出 C3C_3C3​ ，若 u≠C3u≠C_3u​=C3​ ，则报错并退出；
  7. 输出明文 M’M’M’ 。

SM2 解密算法流程图如下：

Miracl大数运算库相关函数

函数原型: miracl *mirsys(int nd, int nb);
功能说明: 初始化MIRACL系统，该函数必须在调用MIRACL库函数之前先执行

函数原型: void add(big x, big y, big z);
功能说明: 两个大数相加，z=x+y

函数原型: void bigrand(big w, big x);
功能说明: 使用内置的随机数发生器，产生一个小于w的大数随机数，x<w

函数原型: void copy(big x, big y);
功能说明: 将一个大数赋值给另一个大数，y=x

函数原型: int cotstr(big x, char *s);
功能说明: 将一个大数根据其进制转换成一个字符串
返回值: 字符串长度

函数原型: void incr(big x, int n, big z);
功能说明: 将一个大数加上一个整数， z=x+n

函数原型: void decr(big x, int n, big z) ;
功能说明: 将一个大数减去一个整数， z=x-n.

函数原型: void divide(big x, big y, big z);
功能说明: 两个大数相除，z=x/y; x=x mod y，当变量y和z相同时，x为余数，商不返回（即y的值不变）；当x和z相同时，x为商，余数不返回。

函数原型: void multiply(big x, big y, big z);
功能说明: 两个大数相乘，z=xy

函数原型: void powmod(big x, big y,big z, big w);
功能说明: 模幂运算，w=x^y(mod z)

函数原型: int mr_compare(big x, big y);
功能说明: 比较两个大数的大小
返回值: x>y时返回+1, x=y时返回0, x<y时返回-1

函数原型: void sftbit(big x, int n, big z);
功能说明: 将一个大数左移或右移n位，n为正数时左移，负数时右移

函数原型: void mirexit();
功能说明: 清除MIRACL系统，释放所有内部变量

程序代码

因代码过长，源代码已上传Github代码仓库，克隆到本地后即可查看运行。

样例数据测试

选取如下英文文段作为测试明文

“The Little Prince is a novella by French aristocrat, writer.
It was first published in English and French in the US by Reynal & Hitchcock in April 1943.
The story follows a young prince who visits various planets in space, including Earth, and addresses themes of loneliness, friendship, love, and loss. Despite its style as a children’s book, The Little Prince makes observations about life and human nature.”

运行结果

可以看到，程序成功实现了对消息的加解密。

注意事项

源代码下载至本地无法直接运行，需在 Visual Studio 中对 Miracl 大数库进行相关配置。
Miracl 大数库编译及配置教程见 编译并使用Miracl大数运算库（使用Visual Studio 2019）

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