Riemann积分的一点点菜鸡笔记（一）

                                                   Riemann积分的一点点菜鸡笔记（一）在假的Darboux理论搞得清楚一点以后，我觉得有必要写一下这个数学分析（二）中最简单的一章的一点点笔记，主要还是去写Riemann积分准则。定理：[a,b] 上的单调函数和连续函数是可积的prove：//我们其实在一开始没有什么方法，只能考虑定义和柯西准则，但考虑到一致连续性，Cauchy准则似乎好一些//先考虑连续函数 事实上我们要证明的是C[a,b] ⊂R[a,b]  取定f∈C[a,b] ∀ε>0 ∃δ>0 f在[a,b]一致连续 有δ>0 当x，y∈[a,b] 且 |x-y|<δ |f(x)-f(y)|<ε/2(b-a) 取任意两个分取法 （T，ξ）（S，η）使得λ（T）、λ（S）<δ  令V=T∪S={z1,z2,......,zN} 令ξi,ζi = Zi i=1 to N //取更细的分法加·右分点取法// 则 R(T,ξ)-R(V,ζ) = ∑(i = 1 to m)f(ξi)△xi - Σ(j = 1 to N)f(ζj)△zj <= Σ(i = 1 to m)Σ(xi-1 <= zj <= xi)|f(ξi)-f(ζj)|△zj<εΣ(j = 1 to m)△zj/(b-a) |ξi-ζj|<δ 同样的R(S,η)-R(V,S) 再加三角不等式即可。//△z的和一定小于b-a//          我们再来考察单调函数其实是一样的  设f[a,b]增   ∀ε>0 取任意两个分取法 （T，ξ）（S，η）使得λ（T）、λ（S）<δ  令V=T∪S={z1,z2,......,zN} ,ζi = Zi//右端点取法// R(T,ξ)-R(V,ζ) = ∑(i = 1 to m)f(ξi)△xi - Σ(j = 1 to N)f(ζj)△zj <= Σ(i = 1 to m)Σ(xi-1 <= zj <= xi)|f(ξi)-f(ζj)|△zj   <= Σ(i = 1 to m)(f(xi) - f(xi-1))△xi <= λ(T)(f(b) - f(a))  那么我们直接取δ = ε/(2(f(b) - f(a))+1) 同样的R(S,η)-R(V,S) 再加三角不等式即可。定理（黎曼积分对区间的可加性）：a<b<c a,c,b∈|R 则R[a,b] ⊂ R[a,c] ∩ R[c,b] 且 ∀f ∈ R[a,b] ∫(a,b)f(x)dx = ∫(a,c)f(x)dx + ∫(c,b)f(x)dx prove:∀f ∈ R[a,b]   我们先证明可积性 先证f∈R[a,c] 由f∈ R[a,b]  ∃δ>0 当（T，ξ）（S，η）满足λ（T）、λ（S）<δ 则 |R[a,b](T，ξ) - R[a,b](S，η)| < ε  ∀[a,c]上的分取法 （**T，ξ）（S，η**）若λ（**T**）、λ（**S**）<δ  //然后对后面区间均分// T = **T** ∪ {c + i(b-c)/N} 其中(b-c)/N<δ i = 1 to n 也对ξ、S、η 记zi = {c + i(b-c)/N} R[a,b](T，ξ)  =  R[a,c](**T，ξ**) + Σ（i = 1 to N）f(zi)(b-c)/N R[a,b](S，η）  =  R[a,c](**S，η**) + Σ（i = 1 to N）f(zi)(b-c)/N  则 |R[a,b](**T，ξ**) - R[a,b](**S，η**)| =  |R[a,b](T，ξ) - R[a,b](S，η)| < ε 同理f∈R[c,b]   再来看定量   设f∈R[a,c]∩R[c,b] ∀ε>0 ∃δ1>0 ∃δ2>0 对[a,c]分取法（T，ξ）if  λ（T）<δ1 |R[a,c](T，ξ) - ∫(a,c)f(x)dx| < ε/3 对[b,c]分取法（S，η）if  λ（S）<δ2  |R[b,c](T，ξ) - ∫(b,c)f(x)dx| < ε/3 取δ = min{δ1，δ2，ε/(6m+1)} 其中 m = sup(a<=x<=b)|f(x)| 再取[a,b]的分取法(V,ζ) λ（V）<δ 这样有两种情形 1. //取到c// c∈V 令T||ξ = T||ξ ∩ [a,c] S||η = S||η ∩ [c,b] R(V,ζ)[a,b] =  R[a,c](T，ξ) + R[c,b](S，η) λ（T）<δ1 λ（S）<δ2 |R(V,ζ)[a,b] - ∫(a,c)f(x)dx - ∫(c,b)f(x)dx| <= |R[a,c](T，ξ)  - ∫(a,c)f(x)dx| + |R[c,b](S，η)  - ∫(c,b)f(x)dx| < 2ε/3 < ε 2.c∉V = {z0,.......,zN}  ∃k zk < c < z<k+1> **V** = V ∪ {c}  **ζi** = ζi i = 1 to k **ζ<k+1>** = c ζ<k+2> = z<k+1> **ζj** = ζ<j-1> j = k+3,......,N+1 //加两个分点 使得最大区间长仍小于δ //由情形一|R(**V,ζ**)[a,b] - ∫(a,c)f(x)dx - ∫(c,b)f(x)dx|<2ε/3  R(V,ζ)[a,b] - R(**V,ζ**)[a,b] = f(ζ<k+1>)(z<k+1> - zk) +[f(c)(c-zk) -  f(z<k+1>)(z<k+1> - c)]  <= |(f(ζ<k+1>) - f(c)(c - zk)| + f(z<k+1>(z<k+1> - c)) <= |f(ζ<k+1>) - f(c))(c - zk)| + |f(ζ<k+1>) -  f(z<k+1>))(z<k+1> - c)| <= 2m(z<k+1> - zk) < 2mδ <= 2mε/(6m+1)<ε/3

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