数学建模之初等模型详解
以下针对数学建模中的一些常用的初等模型进行详细介绍，希望对初入数学建模的小伙伴能够起到点金之用，通过建模举例对数学建模的基本思想和步骤有一个初步的了解。好了，话不多说，进入正文，小葵花课堂开课了，赶紧搬好等着做好了。。。。
目录
分蛋糕问题
出租车收费问题
蚂蚁逃跑问题
极限、最值、积分问题的初等模型
极限问题中的初等模型
细菌繁殖问题
最值问题中的初等模型
海报设计问题
工人上班效率问题
最大利润问题
积分问题中的初等模型
商品的贮存费问题
车辆平均行驶速度问题
经济问题中的初等模型
经济问题中的基本函数
示例说明
线性代数模型
人、狗、鸡、米过河问题
常染色体遗传模型
分蛋糕问题
问题：
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题， 你知道他用的是什么办法吗？
问题归结为如证明题：
已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线，P是曲线所围图形上任一点，求证：一定存在一条过P的直线，将这图形的面积二等分。
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2 (此时l与x轴正向的夹角记为)，以点P为旋转中心，将l按逆时针方向旋转，面积S1，S2就连续依赖于角的变化，记为
由零点定理得证。
出租车收费问题
问题：
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
例如，当行驶路程x（km）满足 12≤x<12.5时，按12.5km计价；当 12.5 ≤x<13时，按13km计价； 例如，等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
请回答下列问题
- 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍，请建立车费与行程的数学模型。
- 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？
- 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
模型建立：
设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
数学模型为
蚂蚁逃跑问题
问题：
一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1）， （5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火 焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到 原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？
模型建立：
假设板上任一点（x,y）处的温度为
那么
极限、最值、积分问题的初等模型
极限问题中的初等模型
细菌繁殖问题
问题：
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。
1.建立细菌繁殖的数学模型。
2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的近似数据。
求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长下去，假定细菌无死亡，60天后细菌的个数大概是多少？
模型建立：
由于细菌的繁殖时连续变化的，在很短的时间内数量变化得很小，繁殖速度可近似看做不变。
将时间间隔t分成n等分，在第一段时间内，细菌繁殖的数量为
，在第一段时间末细菌的数量为，同样，第二段时间末细菌的数量为 ；以此类推，最后一段时间末细菌的数量为 ，经过时间t后，细菌的总数是
设细菌的总数为y，则所求的数学模型为：
最值问题中的初等模型
海报设计问题
问题：
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
模型建立：
这个问题可用求一元函数最值的方法解决
使得以下式子达到最小
其中
令此式对x的导数为0，解得： x=16，此时y=8，可使空白面积最小。
工人上班效率问题
问题：
对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出 Q(t)=-t^3+9t^2+12t 个晶体管收音机。 问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？
模型建立：
工作效率最高，即生产率最大，此题中，工人在t时刻的生产率为产量Q关于时间t的变化率：Q’(t)，则问题转化为求Q’(t)的最大值
工人的生产率为
比较R(0)=12，R(3)=39，R(4)=36，知t=3时，即上午11：00，工人的工作效率最高。
最大利润问题
问题：
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？
模型建立：
每天的总收益为二元函数：
令 ，，则有驻点x=53，y=55 判断可知（53，55）为最大值点。
积分问题中的初等模型
商品的贮存费问题
问题：
一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月2000公斤运走，要用5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？
模型建立：
令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则Q(t)=10000-2000t
将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间，区间长度为
，在这个小区间中，每公斤贮存费用=0.01△t
第j个小区间的贮存费=0.01Q(tj)△t
总的贮存费=
由定积分定义：
总贮存费=
车辆平均行驶速度问题
问题：
某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1：00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为： S(t)=2t^3-21t^2+60t+40(km/h) 左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？
模型建立：
此题是求函数s(t)在区间[1, 6]内的平均值
一般地，连续函数在区间上的平均值，等于函数在此区间上的定积分除以区间长度。
平均车辆行驶速度为
经济问题中的初等模型
经济问题中的基本函数
设产品产量为q，产品价格为p，固定成本c0，可变成本为c1.
（1）总成本函数：
（2）供给函数：
（3）需求函数：
（4）价格函数：
（5）收益函数：
（6）利润函数：
（7）边际成本函数：
（8）边际收益函数：
（9）边际利润函数：
示例说明
示例1：
某品牌收音机每台售价90元，成本为60元，厂家为鼓励 销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多 订购一台，售价就降低1分（例如某商行订购300台，订购量 比100台多200台，于是每台就降价0.01×200=2元，商行可 按每台88元的价格购进300台）。但最低价格为75元/台。
（1）建立订购量x与每台的实际售价p的数学模型。
将售价与订购量归纳为如下的数学模型：
（2）建立利润L与订购量x的数学模型。
每台利润是实际售价p与成本60元之差，所以 L=(p-60)x
（3）当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？
当x≤100时，每台售价90元；当订购量超过1600台时，每台售价75元；当订购量在100到1600台之间时，每台售价为90-(x-100) ×0.01
示例2：
一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180 元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费。
（1）建立总收入R与租金x之间的数学模型。
总收入R等于租出的公寓数 50-((x-180) /10)乘以每套公寓的纯利润x-20
（2）当房租定为多少时可获得最大收入？
得x=350(元/月)
示例3：
某不动产商行能以5%的年利率借得贷款，然后它又把 此款贷给顾客。若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成 反比（利率太高无人借贷）。
(1)建立年利率x与利润p间的数学模型。
贷出的款额为k/x^2,k>0为常数，商行可获得利润：
(2)当以多大的年利率贷出时，能使商行获得利润最大？
求当x取何值时，p最大。
得x=0.1，即贷出年利率为10%时，商行获得利润最大。
线性代数模型
所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何具体实现？
人、狗、鸡、米过河问题
问题：
这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。
模型建立：
在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为1，而在彼岸时则取 为0，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。
- （i）可取状态
根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：
- （ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。
在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、 （1，0，1，0）、（1，0，0，1）四个。
规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与 转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加， 且规定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。
在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：
由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。
可以如下进行分析 ：
（第一次渡河）
（第二次渡河）
以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际 上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。
下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率
示例：
农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？
假设令n=0,1,2,…
（i）设,
和
分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比 。令
为第n代植物的基因型分布：（表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布））
显然有
（ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表确定的。
建模
根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n-1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n-1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n-1代的aa型与AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
将（2）、（3）、（4）式相加，得
根据假设(I)，可递推得出：
对于(2)式、(3)式和(4)式，采用矩阵形式简记为
其中（这里M为转移矩阵的位置）
由（5）式递推，得
（6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角库D，使
，因而有
其中
这里，
，
是矩 阵M的三个特征值。对于 (5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：
因此
所以
通过计算，，因此有
即
所以有
即在极限的情况下，培育的植物都是AA型。 若在上述问题中，不选用基因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下
并且，其中
M的特征值为
通过计算，可以解出与，
相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征向量e3：
因此
解得：
所以
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作者：左手の明天
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