第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数
㈠复数表示：
①背景：实数领域中，乘幂运算是不完备的，因为负数导致了乘幂失效。②定义：将形如z=x+iy的数称为复数，i为虚数单位。
* 规定：
* 实部与虚部：实数x与y分别称为z的实部与虚部。记为
* 特别有：当y=0，则为实数x；当x=0，则为纯虚数iy
* 复数相等：复数z1与z2的实部与虚部均相等，则相等。但复数不能比较大小！
③复数的形式：表示记为备注代数式注意复数相等的条件三角式r为复数的模|z|，幅角Argz，主值角argz0的模为0，幅角不确定指数式实数是复数的真子集，复数扩充了数域复数可以理解为平面上的点或者矢量，这个平面就是复平面。因为点是无序的所以不能比较大小虚数单位的增量iΔy代数式转化为三角时，可以判断原来(x,y)在第几象限来确定θ在[-π,π]的哪个区间④共轭复数：⑴定义：实数相同，虚部相反的复数⑵性质：注意复数模的定义是与共轭联系在了一起，而不是乘法。因为要保证模大于0。㈡复数运算：
①加减：
*
几何意义：
②乘法：三角与指数下更方便计算
*
几何意义：逆时针旋转，模放大缩小
③除法：除法可以看成是实数化分母的过程
*
几何意义：顺时针旋转，模放大缩小
④乘幂：
*
若n为正整数：
*
若n为负整数：定义则
⑤方根：，由于幅角的不确定性会有n个根出现
*
几何意义：，以模的方根为半径的圆的内接n边形
㈢无穷远点与复球面
①无穷远点：这是复数中的一个点而不仅仅是微积分的符号。加上了它的复数平面称为扩充复平面或全平面。
②复球面：
㈣平面点集：描述平面中点的集合论
①邻域：平面上以z0为中心，半径δ的圆表示为，称为z0的领域，记为
*
去心邻域
②内点：若z0的邻域内均为区域G的点，称z0为内点
*
开集：全为内点，不含边界即可
*
闭集：平面内不含G的内点的区域，或者说是G的补集
③边界点：若点z0既有G的点又有G的补集的点，称z0为边界点
*
边界线：所有边界点的集合
④区域：
*
条件：1.全为内点；2,连通
*
注意：区域不是闭区域，闭区域含有边界！
㈣曲线：将z和复常数看作点容易勾勒出曲线
①简单：自身不重合
②闭：围成区域
㈤复变函数
①复函数定义：设有一复数几何G，若存在确定法则，对于G中每一个复数z，按照此法则，确定一个或多个复数w与其对应，则称w为z的函数。
*
柯西看法(z)：
*
黎曼看法(u,v)：
*
注：如何将含xy的式子或函数化成z的式子？——和
②映射：就像微积分的图像一样便于理解，只不过现在是平面对平面的投影
③极限：，记为
*
类比二元函数的极限，这里极限值不会以z—>z0的方式改变
④连续：，只需要考察uv在该点连续性即可
只考察u,v连续即可，换句话说，只用单单考察u的三位一体
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