1.2 数列和收敛数列

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部分主要包含《数学分析教程》中的1.2数列和收敛数列的基本概念，再结合自己的理解，给数列和收敛数列几点注记

收敛数列的定义

极限收敛于a的定义：

，∀ϵ>0,∃N∈N∗\forall \epsilon>0, \exists N\in N^{*}∀ϵ>0,∃N∈N∗，当n>Nn>Nn>N时有∣an−a∣<ϵ|a_{n}-a|<\epsilon∣an−a∣<ϵ

注：

上述定义中，正数ϵ\epsilonϵ必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替，所谓"任意"着重强调"任意小"的方面，而不是"任意大"那一方面，虽然若在定义中把"对任意给定ϵ>0\epsilon>0ϵ>0"改成"对任意给定ϵ∈(0,12)\epsilon\in(0,\frac{1}{2})ϵ∈(0,21)"，仍然可以作为数列收敛定义
当正数ϵ\epsilonϵ给定后，满足要求的N通常与ϵ\epsilonϵ有关，但不是函数关系，即不一定满足一个ϵ\epsilonϵ映射到一个N
一般来说，当ϵ\epsilonϵ变小，相应的N将变大，很明显，如果N∈N∗N\in N^{*}N∈N∗满足∣an−a∣<ϵ|a_{n}-a|<\epsilon∣an−a∣<ϵ的要求，那么N+1, N+2, N+3…都能满足∣an−a∣<ϵ|a_{n}-a|<\epsilon∣an−a∣<ϵ的要求，所以在证明数列收敛时，我们重视的是满足条件的N的存在性，并不需要找到满足要求的最小正整数
收敛数列的几何描述：{an}\{a_{n}\}{an}，当n→∞n\rightarrow\inftyn→∞时收敛于实数a指：对∀ϵ>0,∃N∈N∗\forall\epsilon>0, \exists N\in N^{*}∀ϵ>0,∃N∈N∗，使得此列中除有限多项a1,a2,a3...aNa_{1}, a_{2}, a_{3}...a_{N}a1,a2,a3...aN外，其余的均落在aaa的ϵ\epsilonϵ邻域内

一些相关概念

子列：

设{an}\{a_{n}\}{an}是一个数列，ki∈N∗k_{i}\in N^{*}ki∈N∗，且满足k1<k2<k3...k_{1}<k_{2}<k_{3}...k1<k2<k3...，称{akn}\{a_{k_{n}}\}{akn}为{an}\{a_{n}\}{an}的子列

无穷小：

lim⁡n→∞an=0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0n→∞liman=0

有上界：

∃\exists∃实数A，使得an≤Aa_{n}\leq Aan≤A对一切n∈N∗n\in N^{*}n∈N∗成立，称{an}\{a_{n}\}{an}有上界

有界数列：

如果{an}\{a_{n}\}{an}既有下界又有上界，称它为一个有界数列

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1.2 数列和收敛数列

1.2 数列和收敛数列

收敛数列的定义

极限收敛于a的定义：

注：

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