信号与系统研讨（一）匹配滤波器

匹配滤波器：

在通信问题中，人们往往都愿意发送信息含量尽可能少的那种信号。例如，如果某一复杂的消息编成一串二进制数的序列，就可想象一个系统，该系统是一比特接着一比特地发送这条信息。每一比特都可以通过发送一种信号来传送，例如：如果这个比特是0,就发信号x0(t)x_0(t)x0(t)；如果是1就发不同的信号x1(t)x_1(t)x1(t)。这时，接收这些信号的系统必须能够辨别出已经接收到的是x0(t)x_0(t)x0(t)，还是x1(t)x_1(t)x1(t)。直观看来，在接收装置中必须有两个系统，一个对x0(t)x_0(t)x0(t)“调谐”，另一个对x0(t)x_0(t)x0(t)“调谐”。这里所指的“调谐”就是对某信号“调谐”的系统在接收到该信号后，系统会产生一个大的输出。当一个特定信号被接收时，系统能产生一个大的输出的这种性质正是匹配滤波器所具有的。

实际上，在信号发送和接收过程中，失真和干扰总是存在的。因此，就希望匹配波波器对与其相匹配的输入信号的响应和其他被传送信号的响应之间有最大的差别。这一种性质，在工程上称为"信噪比"，即系统对有效输入的响应功率与对无规律噪声的响应功率的比值。信噪比越高，说明系统响应中噪声的占比越少，信号的质量就越高；反之则信号的质量越低。

下面证明为何匹配滤波器具有最大的信噪比：

假设传输的有效信号为g(t)g(t)g(t)，在传输过程中混入的无规律可加性噪声为w(t)w(t)w(t)，则最终输入系统的输入信号x(t)=g(t)+w(t)x(t)=g(t)+w(t)x(t)=g(t)+w(t)。又设系统的单位冲激响应为h(t)h(t)h(t)，输出为y(t)y(t)y(t)，故有

y(t)=x(t)∗h(t)=[g(t)+w(t)]∗h(t)=g(t)∗h(t)+w(t)∗h(t)\begin{aligned} y(t)&=x(t)*h(t)\\ &=[g(t)+w(t)]*h(t)\\ &=g(t)*h(t)+w(t)*h(t)\\ \end{aligned} y(t)=x(t)∗h(t)=[g(t)+w(t)]∗h(t)=g(t)∗h(t)+w(t)∗h(t)
设有效信号响应S(t)=g(t)∗h(t)S(t)=g(t)*h(t)S(t)=g(t)∗h(t)，噪声响应N(t)=w(t)∗h(t)N(t)=w(t)*h(t)N(t)=w(t)∗h(t)，则信噪比SNRSNRSNR就等于信号响应的瞬时功率与噪声的平均功率的比值。

为了对系统输入x(t)x(t)x(t)得到最大的输出响应，对一个单位冲激响应为h(t)h(t)h(t)的线性时不变系统中，假设t<0t<0t<0和T>0T>0T>0时h(t)=0h(t)=0h(t)=0，在约束条件
∫0Th2(t)dt=M,M为某一固定正数\int_0^Th^2(t)dt=M,\ \ \ \ \ \ M为某一固定正数 ∫0Th2(t)dt=M, M为某一固定正数
下，使系统输出y(T)y(T)y(T)为最大的h(t)h(t)h(t)就是反转与时移后的输入信号乘以一个标量因子。

证明如下：
y(T)=x(T)∗h(T)=∫0Tx(τ)h(T−τ)dτ\begin{aligned} y(T)&=x(T)*h(T)\\ &=\int_0^Tx(\tau)h(T-\tau)d\tau\\ \end{aligned} y(T)=x(T)∗h(T)=∫0Tx(τ)h(T−τ)dτ
由施瓦茨不等式：
∫0Tx(τ)h(T−τ)dτ≤[∫0Tx2(τ)dτ]12[∫0Th2(τ)dτ]12=M12[∫0Tx2(τ)dτ]12\begin{aligned} \int_0^Tx(\tau)h(T-\tau)d\tau &\le[\int_0^Tx^2(\tau)d\tau]^{\frac{1}{2}}[\int_0^Th^2(\tau)d\tau]^{\frac{1}{2}}\\ &=M^\frac{1}{2}[\int_0^Tx^2(\tau)d\tau]^{\frac{1}{2}} \end{aligned} ∫0Tx(τ)h(T−τ)dτ≤[∫0Tx2(τ)dτ]21[∫0Th2(τ)dτ]21=M21[∫0Tx2(τ)dτ]21
可知，要使系统响应达到最大，即上述不等式取等，其条件为
h(T−τ)=kx(τ)⇒h(τ)=kx(T−τ)h(T-\tau)=k\ x(\tau)\\ \Rightarrow h(\tau)=k\ x(T-\tau) h(T−τ)=k x(τ)⇒h(τ)=k x(T−τ)
即该系统的单位冲激响应为反转与时移后的输入信号乘以一个标量因子。

注意到，如果h(τ)h(\tau)h(τ)满足上述条件，则系统输出y(t)y(t)y(t)满足
y(t)=x(t)∗h(t)=∫0Tx(τ)h(t−τ)dτ=k∫0Tx(τ)x(t+τ−T)dτ=kϕxx(t−T)\begin{aligned} y(t)&=x(t)*h(t)\\ &=\int_0^Tx(\tau)h(t-\tau)d\tau\\ &=k\int_0^Tx(\tau)x(t+\tau-T)d\tau\\ &=k\ \phi_{xx}(t-T) \end{aligned} y(t)=x(t)∗h(t)=∫0Tx(τ)h(t−τ)dτ=k∫0Tx(τ)x(t+τ−T)dτ=k ϕxx(t−T)
即输入信号的自相关函数ϕxx(t)\phi_{xx}(t)ϕxx(t)向右时移TTT之后乘以一个标量因子kkk就等于此时系统的输出函数y(t)y(t)y(t)，这也解释了为何此时y(T)y(T)y(T)最大，因为当t−T=0t-T=0t−T=0时，自相关函数ϕxx\phi_{xx}ϕxx才取得最大值。

匹配滤波器和相关函数起着重要作用的另一个应用是雷达系统。雷达的基本原理是向目标发送的电磁脉冲被目标反射而回到发送端，反射波的延时与目标距离成正比。在理想情况下，被接收的信号只不过是时移了的，并在大小上可能有些变化的原发送信号。所以可理想地认为反射信号x′(t)=kx(t−T0)x'(t)=k\ x(t-T_0)x′(t)=k x(t−T0)，而这两个信号的互相关函数
ϕxx′(t)=∫0Tx(τ)x′(τ+t)dτ=k∫0Tx(τ)x(τ−T0+t)dτ\begin{aligned} \phi_{xx'}(t)&=\int_0^Tx(\tau)x'(\tau+t)d\tau\\ &=k\int_0^Tx(\tau)x(\tau-T_0+t)d\tau \end{aligned} ϕxx′(t)=∫0Tx(τ)x′(τ+t)dτ=k∫0Tx(τ)x(τ−T0+t)dτ
其形式正好与上面推导的系统输出函数y(t)y(t)y(t)的形式一致，即ϕxx′(t)=kϕxx(t−T0)\phi_{xx'}(t)=k\ \phi_{xx}(t-T_0)ϕxx′(t)=k ϕxx(t−T0)，所以我们只需要找到何时该匹配滤波器的输出达到最大值，就可以求出T0T_0T0，知道反射信号x′(t)x'(t)x′(t)相对于x(t)x(t)x(t)时移了多少，进而得出雷达探测到的物体与雷达间的距离。因此，简单的雷达测距系统工作方式就是基于利用一个对发送波形x(t)x(t)x(t)匹配的匹配滤波器，并记录下该系统的输出达到最大值时的时刻来完成的。

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