【BZOJ 1053】反素数【素数基本知识】

题意：

对于任何正整数 x ，其约数的个数记为 g(x)。如果某个正整数 x 满足：对于任意的 0 < i < x，都有g(x) > g(i)，那么x为反质数。例如整数 1，2，4，6等都是反质数。先给定一个数 N，求出不超过 N 的最大的反质数。

思路：

首先需要考虑到几个性质，前10个质因子的乘积大于1e9，并且唯一分解后，所有质数的指数之和小于30，而且对于反素数而言，一定不存在一个比它小的数约数个数比它多或者一样多。

而且约数个数 = (1+c1)(1+c2)(1+c3)...(1+cm)，ci 为第 i 个质因子的指数。由此我们可以发现，反素数唯一分解之后，一定只包含前10个质数，因为如果包含了更大的质数的话，都可以由前面较小的质数替换掉。而且可以发现将质数从小到大进行排列，他们的指数一定是递减的。因为如果出现了类似 (2^5)*(3^4)*(5^7) 这样的唯一分解，则可以换成(2^7)*(3^5)*(5^4)，约数个数不变，但是值却更小了，因此指数一定是递减的。由此此题就变成了一个搜索问题。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
using namespace std;
typedef long long ll;int n,cnt[20] ,prime[20] = {0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},ans,ant;void dfs(int id,ll now){if(id == 11){int tp = 1;rep(i,1,10) tp = tp*(cnt[i]+1);if(tp > ant) ant = tp, ans = now;else if(tp == ant && now < ans) ans = now;return;}cnt[id] = 0; dfs(id+1,now);rep(i,1,30){now = now*prime[id];if(now > n) break;cnt[id] = i; dfs(id+1,now);}
}int main()
{scanf("%d",&n);dfs(1,1);printf("%d\n",ans);return 0;
}

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