高数:第七章（同济大学第七版）

微分方程

一、微分方程的基本概念

1.凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间关系的方程叫做微分方程。
2.最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。
3.通解：微分方程的解中含有任意常数，且常数个数与方程阶数相同。

二、可分离变量微分方程
1.可分离变量微分方程：含x，y的项，可以分别写在等号两侧，然后进行反导。

三、齐次方程
1.一阶微分方程： dydx\frac{dy}{dx}dxdy=φ(yx\frac{y}{x}xy)，或者可化为这种形式的方程称为齐次方程。
设u=yx\frac{y}{x}xy，所以说y=ux,dydx\frac{dy}{dx}dxdy=u+x(dudx\frac{du}{dx}dxdu)
带入原函数可计算
最后再将u用x,y替换回来。

四、一阶线性微分方程
1.一阶线性微分方程：dydx\frac{dy}{dx}dxdy+PxP_xPxy=QxQ_xQx
若QxQ_xQx=0,则方程为齐次的，反之为非齐次的。
2.非齐次方程求解：
　　　①先求出对应齐次线性方程的解。
　　　②然后设常数项C为uxu_xux。
　　　③然后将u代入y，求出y’。
　　　④将y与y’代入题方程中变换得出u。
　　　⑤再将u代入齐次方程解中得出非其次方程解。

五、可降阶的高阶微分方程
1.y⁽ⁿ⁾=f(x)型：
此类型没什么特殊的，一阶一阶求积分即可。

2.y’’=f(x,y’)型（不含y）：
设y’=P
∴\therefore∴y’’=P’
方程变成了一阶微分方程，求解，再进行替换即可。

3.y’’=f(y,y’)型（不含x）：
设y’=P
∴\therefore∴y’’=PdPdy\frac{dP}{dy}dydP
代入原方程，积分…即可

六、高阶线性微分方程
二阶齐次线性方程：y’’+P(x)y’+Q(x)y=0
定理一：如果函数y1y_1y1(x)与y2y_2y2(x)是该方程的解，那么
　　　　y=C1C_1C1y1y_1y1(x)+C2C_2C2y2y_2y2(x)
　　　　也是其解。
　　　　
定理二：如果y1y_1y1(x)与y2y_2y2(x)是方程的两个线性无关的特解，那么
　　　　y=C1C_1C1y1y_1y1(x)+C2C_2C2y2y_2y2(x)
　　　　也是方程通解。
　　　　
定理三：设y^*是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的一个特解
　　　Y（x）是对应齐次方程的通解，则y=Y(x)+y^*(x)
　　　也是二阶非齐次线性方程的通解。
　　　
定理四：设非其次线性方程右端f(x)是两个函数之和，即
　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y=f1f_1f1(x)+f2f_2f2(x)
　　　而y1y_1y1^*(x)与y2y_2y2^*(x)分别是方程
　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y=f1f_1f1(x)与
　　　y’’+P(x)y’+Q(x)y=f2f_2f2(x)的特解
　　　则y1y_1y1^*(x)+y2y_2y2^*(x)是原方程的特解

七、常系数齐次线性微分方程
1.对应y=0,y’=r,y’’=r²

特征方程r²+pr+q=0的两根r1,r2	通解
不等实根	y=c1c_1c1 e^(r1x)+ c2c_2c2 e^r2x
相等实根	y=(c1c_1c1+c2c_2c2x)e^r1x
共轭复根r1,2=α±βi	y=e^αx(c1c_1c1cosβx+c2c_2c2sinβx)

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实根r	给出一项：Ce^rx
一对单复根r1,2=α±βi	给出两项：e^αx(C1C_1C1cosβ+C2C_2C2sinβ)
k重实根r	给出k项：e^rx(C1C_1C1+C2C_2C2x+…+CkC_kCkx^k-1)
一对k重实根r1,2=α±βi	给出2k项：e^αx[(C1C_1C1+C2C_2C2x+…+CkC_kCkx^k-1)]cosβx+（D1D_1D1+D2D_2D2x+…+DkD_kDkx^k-1sinβx）

第八章：常系数非齐次线性微分方程
一般形式：y’’+py’+qy=f(x)
1.f(x)=e^λxPxP_xPx(x)型：

（i）如果λ不是特征方程r²+pr+q=0的根，即λ²+pr+q≠0，则设RmR_mRm(x)=b0b_0b0 x^m + b1b_1b1 x^m-1 + … + bmb_mbm−_-−1_11 x + bmb_mbm
　
　　(ii)如果λ是特征方程得单根，即λ²+pr+q=0,但2λ+p≠0，则设R(x)=xRmR_mRm(x) [用同样的方法确定RmR_mRm(x)的系数bib_ibi]
　　
　　(iii)如果λ是特征方程r²+pr+q=0的重根，即λ²+pr+q≠0，且2λ+p=0 ，则设R(x)=x2x^2x2RmR_mRm(x) [用同样的方法确定RmR_mRm(x)的系数bib_ibi]

综上:
　　如果f(x)=e^λxPxP_xPx(x),那么二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如：y*=xkx^kxkRm(x)R_m(x)Rm(x)e^λx,其中k按是不是特征方程的解取值依次为0,1,2.

2. f(x)=e^λx[PlP_lPl(x)cos⁡ω\cos\omegacosωx+QnQ_nQn(x)sin⁡ω\sin\omegasinωx]
　直接结论：
　　设特解为：y*=x^Ke^λx[Rm1R_m^1Rm1(x)cos⁡ω\cos\omegacosωx+Rm2R_m^2Rm2(x)sin⁡ω\sin\omegasinωx]
　　· 其中Rm1R_m^1Rm1(x)，Rm2R_m^2Rm2(x)是m次多项式（RmR_mRm(x)=b0b_0b0 x^m + b1b_1b1 x^m-1 + … + bmb_mbm−_-−1_11 x + bmb_mbm），m=max { l,n }.【l,n为三角函数前所跟x的多少次方】
　　· k按λ+ωi（或λ-ωi）不是特征方程的根，是特征方程的根依次取0或1
　　
求特解步骤：
①写出对应齐次方程。
②变成特征方程。
③计算λ或 { λ+ωi (λ-ωi) ｝是不是特征方程的根，设出特解y*。
④计算出y’,y’'代入题中原方程。
⑤待定系数法求出未知数，得出微分方程特解。
⑥求通解的话，再加上对应齐次方程通解即可

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