对称正定矩阵的三角分解

设A\ A A为n阶对称正定矩阵，则A\ A A可以分解为一个单位下三角矩阵L~\ \tilde{L} L~和一个上三角矩阵U~\ \tilde{U} U~的乘积：
A=L~U~\ A=\tilde{L} \tilde{U} A=L~U~
令D=diag(u11~,⋯,unn~)\ D=diag(\tilde{u_{11}},\cdots, \tilde{u_{nn}}) D=diag(u11~,⋯,unn~)，则
U~=DU=D12D12U\ \tilde{U}=DU=D^{\frac{1}{2}}D^{\frac{1}{2}}U U~=DU=D21D21U
得：
A=(L~D12)(D12U)=LU1\ A=(\tilde{L}D^{\frac{1}{2}})(D^{\frac{1}{2}}U)=LU_1 A=(L~D21)(D21U)=LU1
其中L=L~D12\ L=\tilde{L}D^{\frac{1}{2}} L=L~D21为非奇异的下三角矩阵，U1=D12U\ U_1=D^{\frac{1}{2}}U U1=D21U为非奇异的上三角矩阵。因为A=AT\ A=A^T A=AT，所以
LU1=U1TLT\ LU_1=U_1^T L^T LU1=U1TLT
由于A的分解是唯一的，于是
U1=LT\ U_1=L^T U1=LT
则
A=LLT(1)\ A=LL^T \quad (1) A=LLT(1)
以上就是对成正定矩阵的分解定理

Cholesky分解

设A是对称正定矩阵，则存在对角元全是正数的下三角矩阵L，使（1）存在且唯一，这种分解称为Cholesky分解，假设以算出L的第1至j-1列元素，由（1）得
aij=∑k=1j−1likljk+lijljj(i=j,j+1,⋯,n)\ a_{ij}=\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk}+l_{ij}l_{jj} \quad (i=j,j+1,\cdots,n) aij=k=1∑j−1likljk+lijljj(i=j,j+1,⋯,n)
于是对于j=1,2,…,n 有
ljj=(ajj−∑k=1j−1ljk2)12\ l_{jj}=(a_{jj}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{jk}^2)^{\frac{1}{2}} ljj=(ajj−k=1∑j−1ljk2)21
lij=aij−∑k=1j−1likljkljj(i=j+1,⋯,n)\ l_{ij}=\frac{a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk}}{l_{jj}} \quad (i=j+1,\cdots,n) lij=ljjaij−∑k=1j−1likljk(i=j+1,⋯,n)
规定∑k=10likljk=0\ 规定 \sum_{k=1}^0 l_{ik}l_{jk}=0 规定k=1∑0likljk=0

Matlab实现矩阵的Cholesky分解

function L = Cholesky(A)
%CHOLESKY 完成对矩阵A的cholesky分解
%   input: A -- 要分解的矩阵
%   output: L -- A的cholesky分解下三角矩阵[r, c] = size(A);
L = zeros(r, c);for j = 1:cif j == 1L(j, j) = A(j, j) ^ (1/2);L(j+1:end, j) = A(j+1:end, j) / L(j, j);elseL(j, j) = (A(j, j) - sum(L(j, 1:j-1).^2)) .^ (1/2);L(j+1:end, j) = (A(j+1:end, j) - L(j+1:end, 1:j-1) * L(j, 1:j-1)') / L(j, j);end
endend

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