一、概述

本文总结了对信号的傅里叶级数、傅里叶变换、离散信号傅里叶变换、离散傅里叶变换的理解及之间的关系，还有在频谱分析中的一些现象。通过DSP或FPGA实际通信或数字信号处理算法时，会涉及到对这些基本知识的理解，为此回顾并夯实基础。文章中理解错误的地方，欢迎大家留言指出。

二、几种傅里叶变换的理解

1、FS:傅里叶级数

傅里叶级数主要用于分析连续，周期信号的频谱，连续的周期信号可以用正弦信号展开，如下图所示，其中w为基础频率，其他频率为其整数倍。为区分模拟角频率与数字角频率，也有将w写成Ω的。

则有：

因此连续，周期信号的频谱为离散谱，例如下面周期方波信号的频谱。

2、FT:傅里叶变换

傅里叶变换主要用于分析连续、非周期信号的频谱，计算公式如下：

对于连续、非周期信号的频域分析，一般可以得到以下结论：
1、连续、非周期信号的频谱为连续谱，例如下图矩形窗信号的频谱。
2、信号在时域有限信号，则信号频谱在频域无限。
3、信号的带宽与信号脉冲宽度成反比。
4、f(t)如果为实偶函数，则F(w)为实偶函数。
5、f(t)如果为实奇函数，则F(w)为纯虚函数。
6、f(t)如果为非奇非偶函数，则F(w)为复函数。

3、DTFT:离散时间傅里叶变换

DTFT离散时间傅里叶变换，有也称为时间序列傅里叶变换（SFT），主要是对连续信号进行采样后的频谱分析，其计算公式如下。
需要注意：这里的w与上述不同，表示数字角频率，是对模拟角频率的归一化处理，通过采样，建立了模拟域与数字域之间的联系，通过数字角频率的频谱是可以完全反映出信号实际频谱的，因此可以通过数字角频率分析信号实际频谱，关于数字角频率的理解可参见上一篇文章。

我们知道，对模拟信号的时域采样，相当于对原模拟信号的频谱按照采样Fs进行周期延拓，对应到数字角频率域，其DTFT是以2π为周期的连续周期信号，如下图。

4、DFT:离散傅里叶变换

由于离散时间信号的DTFT后频谱是连续的，而计算机无法存储、处理连续信号，因此对DTFT后的频率进行采样，其DFT的计算公式如下。

同样，对频域信号采样，也相当于对时域信号进行周期延拓，其频谱示意图如下，可以理解为是对DTFT后的频谱在2π周期内N点的等间隔采样。由于时域和频域信号都是周期的，因此可以通过DFT分析其主值区间的数据即可。

三、几种傅里叶变换的关系

下图给出了FS、FT、DTFT 、DFT的关系。

四、频谱分析

1、频谱泄露

频谱泄露原因：实际应用中，我们对模拟信号进行采样然后进行分段处理，这里的“分段”处理，相当于对信号x(n)乘了一个R(N)的N点矩形窗，R(N)的频谱如下，造成了信号频谱能量向两边扩散。

解决方法：
1、增加时域窗长度（即增加观测信号的时间），频域主辦宽度将变窄，减少信号能力向两边频谱的泄露。
2、采用其他窗函数，例如汉明窗。（但是时域信号波形将出现畸变，鱼和熊掌不能兼得）。

2、频谱分辨率

频谱分辨率即在频谱中能够分辨（估计）出来的最小频率，包括：
1、理论频谱分辨率：采集到一段信号理论上能够分辨出的最小频率F=1/T，其中T为采集信号长度。通过增加观测信号长度，可以提高信号理论频谱分辨率。
2、数字频谱分辨率：在通过DFT逼近分析信号实际频谱时，通过末尾补零方式增加DFT点数，可以提高数字频谱分辨率和频率估计误差精度。

注意：当采集信号长度一定后，是无法通过在末尾补零（增加DFT的点数）方式来真正提高频率分辨率的，因为没有增加信号的实际信息。反之，当做DFT点数不够时，即数字分辨率颗粒度太大时，将遗漏实际信号的频谱信息，即栅栏效应。

五、DFT的应用

1、用DFT计算线性卷积：
在循环卷积中，我们知道时域卷积相当于频域相乘，因此可以用DFT/IDFT来快速计算线性卷积，这里注意DFT的长度为N+L-1，其中N为输入序列长度，L为系统序列长度。
在实际工程中，当输入序列是源源不断的输入到系统中的，因此对信号进行分段进行卷积处理，这里将应用到DFT的重叠法和保留法，后续将进一步介绍这部分内容。
2、同步处理（乘累加运算）：
在通信中，需要通过相关处理（乘累加运算）找到相关峰进行同步，类似于线性卷积，也可以用DFT/IDFT快速运算。

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