1 内容简介

写这个内容呢完全是因为要复习一下信号与系统这门课程，一下子给我蹦出了CFT, FT, DTFT, DFS, DFT一堆乱七八糟的玩意，书上写的详尽，但杂乱，网络上的资料粗略草率，但是整理得很好。因此我希望从更好的数学角度去总结所有的变换和级数的由来。
因此本篇并不是从概念理解讲起，不会直观地解释他们的作用，我希望更抽象地展示，以便更好地理解本质的e内容。

2 Fourier Series 傅里叶级数

任意的周期函数可以被表述为无限个三角函数的和，为了更简洁地表述，使用复指数的形式，换句话说，{ejnwt}∣n=−∞+∞\{e^{jnwt}\}|_{n=-\infty}^{+\infty}{ejnwt}∣n=−∞+∞构成了完备正交基，每个基对应的系数可以求函数内积得到，也就是Fn=1T∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdtF_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnwt}dtFn=T1∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdt。傅里叶级数可以表述如下：
f(t)=Σ−∞+∞Fnejnwt=Σ−∞+∞1T∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdt⏞coefficientsejnwt⏞basesf(t)=\Sigma_{-\infty}^{+\infty}F_ne^{jnwt}=\Sigma_{-\infty}^{+\infty}\overbrace{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnwt}dt}^{coefficients} \ \overbrace{e^{jnwt}}^{bases} f(t)=Σ−∞+∞Fnejnwt=Σ−∞+∞T1∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdtcoefficients ejnwtbases
所以傅里叶级数本质上是用系数和基的方式表达原本的函数。

3 CFT 连续时间傅里叶变换

先考虑傅里叶级数生成的频谱

key	value
Expansion	Σ−∞+∞Fnejnwt\Sigma_{-\infty}^{+\infty}F_ne^{jnwt}Σ−∞+∞Fnejnwt
Coefficients(Amptitude)	Fn=1T∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdtF_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnwt}dtFn=T1∫−T/2T/2f(t)e−jnwtdt
Period of frequency spectrum	w=2πTw=\frac{2\pi}{T}w=T2π

对于非周期函数，可以认为T→∞T\rightarrow\inftyT→∞，那么可以想象其傅里叶级数生成的频谱上，谱线间隔会趋近于0，且谱线幅值也会趋近于0（代入T趋近于无穷到上面的三个式子中就能直接得到这个结论）。

所以解决这个问题的想法就是，不用幅度谱来表示，转而使用幅度密度谱来表示，令df(density function)表示幅度密度函数（因为是在频谱上，所以是对频率的密度），计算一下周期趋近于无穷的时候的df值，有
df(w)=limT→∞Fn(2π/T)=limT→∞∫−T/2T/2f(t)e−jnw0tdt/2π=12π∫−∞+∞f(t)e−jwtdtdf(w)=lim_{T\rightarrow\infty}\frac{F_n}{(2\pi/T)}=lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnw_0t}dt/2\pi=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt df(w)=limT→∞(2π/T)Fn=limT→∞∫−T/2T/2f(t)e−jnw0tdt/2π=2π1∫−∞+∞f(t)e−jwtdt
注意，上式中由于周期趋于无穷，那么信号原本的角频率w0w_0w0趋于0，所以定义w=nw0w=nw_0w=nw0替换了原式。傅里叶级数中的n能够在频谱上产生间隔，但此时间隔已经变成0了，所以再用nw0nw_0nw0表示频率分量已经不合适了，所以才会有这样的定义。
定义信号f(t)f(t)f(t)的傅里叶变换为2πdf(w)2\pi df(w)2πdf(w)，即F(w)=∫−∞+∞f(t)e−jwtdtF(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dtF(w)=∫−∞+∞f(t)e−jwtdt，当然，如果你定义df是对频率f的密度，那么df就直接是傅里叶变换，我将它定义成对角频率的密度，是因为一般幅度谱都喜欢用角频率做横坐标，这样在后面会比较容易想象。
由于已经使用密度函数df表达，那么就无法使用之前的系数乘基的方式表达原信号，需要使用密度积分乘基来表达，即
f(t)=∫−∞+∞df(w)dw⏞coefficientejwt⏞bases=12π∫−∞+∞F(w)ejwtdwf(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\overbrace{df(w)dw}^{coefficient}\ \overbrace{e^{jwt}}^{bases}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{jwt}dw f(t)=∫−∞+∞df(w)dwcoefficient ejwtbases=2π1∫−∞+∞F(w)ejwtdw
由于基的长度已经无穷小了，所以相应的要从级数中的Σ\SigmaΣ换成积分。
由此我们得到了CFT，也就是常说的傅里叶变换
F(w)=∫−∞+∞f(t)e−jwtdtf(t)=12π∫−∞+∞F(w)ejwtdwF(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt \\ f(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{jwt}dw F(w)=∫−∞+∞f(t)e−jwtdtf(t)=2π1∫−∞+∞F(w)ejwtdw
所以傅里叶变换的本质是使用密度函数积分得到的系数和基的方式来表达原信号，傅里叶变换得到的频谱，幅值就是密度函数的表达。F(w)=2πdf(w)F(w)=2\pi df(w)F(w)=2πdf(w)。
（傅里叶变换存在是有条件的，有绝对可积等等条件，但这并不是本文的重点，不详细讨论。）

4 DTFT 离散时间傅里叶变换

考虑傅里叶变换的实际作用，通过传感器获取自然中的连续信号，是无法获得连续信号的，通过采样，信号会变成离散信号。
定义采样信号fs(t)f_s(t)fs(t)的采样周期为TsT_sTs，如果采样信号为p(t)p(t)p(t)那么采样信号可以表达为fs(t)=f(t)p(t)f_s(t)=f(t)p(t)fs(t)=f(t)p(t)，在理论中会取p(t)=Σn=−∞+∞δ(t−nTs)p(t)=\Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)p(t)=Σn=−∞+∞δ(t−nTs)，这被称为理想采样。
DTFT想要解决的问题可以表述为，我们希望获得连续原信号f(t)f(t)f(t)的傅里叶变换频谱F(w)F(w)F(w)进行信号分析，但是我们实际上只能够得到fs(t)=f(t)Σn=−∞+∞δ(t−nTs)f_s(t)=f(t)\Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)fs(t)=f(t)Σn=−∞+∞δ(t−nTs)信号，与它的傅里叶变换Fs(w)F_s(w)Fs(w)，所以我们需要研究Fs(w)F_s(w)Fs(w)与F(w)F(w)F(w)的关系，以通过Fs(w)F_s(w)Fs(w)研究F(w)F(w)F(w)。
注意到虽然fs(t)f_s(t)fs(t)表示离散信号，但是用f(t)Σn=−∞+∞δ(t−nTs)f(t)\Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)f(t)Σn=−∞+∞δ(t−nTs)建模的数学表达是连续的，所以可以对这个连续信号直接使用傅里叶变换。我们有：
Fs(w)=∫−∞+∞f(t)Σn=−∞+∞δ(t−nTs)e−jwtdt=Σn=−∞+∞∫−∞+∞f(t)δ(t−nTs)e−jwtdt=Σn=−∞+∞f(nTs)e−jwnTsF_s(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)e^{-jwt}dt=\Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-nT_s)e^{-jwt}dt \\ = \Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}f(nT_s)e^{-jwnT_s} Fs(w)=∫−∞+∞f(t)Σn=−∞+∞δ(t−nTs)e−jwtdt=Σn=−∞+∞∫−∞+∞f(t)δ(t−nTs)e−jwtdt=Σn=−∞+∞f(nTs)e−jwnTs
在有些地方，直接令采样时间等于单位时间Ts=1T_s=1Ts=1来简化问题的研究，事实上目前我们确实并不关心TsT_sTs的大小影响。于是得到：
DTFT{f(t)}:=Fs(w)=Σn=−∞+∞f(n)e−jwnDTFT\{f(t)\}:=F_s(w)=\Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)e^{-jwn} DTFT{f(t)}:=Fs(w)=Σn=−∞+∞f(n)e−jwn
所以对连续信号进行离散时间傅里叶变换，其实就是对它的采样离散信号进行傅里叶变换。
上式同时还表明，采样信号的频谱具有周期性，角频率的周期为2π2\pi2π。一般信号的傅里叶变换，基处于无限长的区间(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞)上，但是采样信号的傅里叶变换，基处于有限长的区间[0,2π)[0,2\pi)[0,2π)上，于是对上式进行傅里叶逆变换，得到：
fs(n)=12π∫−∞+∞Fs(w)ejwndw=12π∫02πFs(w)ejwndwf_s(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_s(w)e^{jwn}dw=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}F_s(w)e^{jwn}dw fs(n)=2π1∫−∞+∞Fs(w)ejwndw=2π1∫02πFs(w)ejwndw
可能有些突兀，将fs(t)f_s(t)fs(t)写为fs(n)f_s(n)fs(n)，实际上由于t的取值只能为{nTs}\{nT_s\}{nTs}，并且TsT_sTs并不关心，所以可以直接用n来表达t。
至此我们已经得到离散时间傅里叶变换的变换对:
Fs(w)=Σn=−∞+∞f(nTs)e−jwnTsfs(n)=2π∫02πFs(w)ejwndwF_s(w)=\Sigma_{n=-\infty}^{+\infty}f(nT_s)e^{-jwnT_s} \\ f_s(n) = {2\pi}\int_{0}^{2\pi}F_s(w)e^{jwn}dw Fs(w)=Σn=−∞+∞f(nTs)e−jwnTsfs(n)=2π∫02πFs(w)ejwndw
所以离散时间傅里叶变换的本质仍然是傅里叶变换，只不过是处理采样离散信号的特殊形式。
所以只要有足够的耐心对每一个信号先做采样分析，再做傅里叶变换，你也可以完全抛弃DTFT这个概念。

5 DFS 傅里叶级数

DTFT仍然无法解决实际问题，它所进行的变换仍然是对无限长序列进行变换，实际中的计算机不可能处理无限长序列，我们只能在一段时间内采样，获得有限长的序列（相机拍照就是在无限大的空间上进行有限的二维采样，对吧）。假设我们获得的序列为f[m]f[m]f[m]且序列长度为M。
它是离散的，且有限的，为了直接使用已有的工具FS，我们可以直接将f[m]f[m]f[m]进行周期沿拓至无穷，因为FS只能用于周期信号嘛，显然，新的无穷序列的周期为T=MT=MT=M，角频率为Ω=2πM\Omega=\frac{2\pi}{M}Ω=M2π，你可以想象到，它的频谱已经是以Ω\OmegaΩ为一个基本单位，所有的谐波频率都是它的倍数。那么我们将这些性质代入到傅里叶级数的系数方程1T∫−T/2T/2f(t)e−jnw0tdt\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jnw_0t}dtT1∫−T/2T/2f(t)e−jnw0tdt中。t变成了离散的时域信号序号m，积分的概念要退化回求和，w0=Ωw_0=\Omegaw0=Ω，于是得到
Fn=1MΣm=0M−1f[m]e−jΩmnF_n=\frac{1}{M}\Sigma_{m=0}^{M-1}f[m]e^{-j\Omega mn} Fn=M1Σm=0M−1f[m]e−jΩmn
得到了系数表达，那么和基相乘，再求和，就还原回了信号f[m]
f[k]=Σn=0M−1Fne−jΩknf[k]=\Sigma_{n=0}^{M-1}F_ne^{-j\Omega kn} f[k]=Σn=0M−1Fne−jΩkn
DFS和FS的本质是一样的，只不过是FS应用在有限长离散序列的周期沿拓上的结果。
如果令向量F=[F0,⋯,FM−1]TF=[F_0,\cdots,F_{M-1}]^TF=[F0,⋯,FM−1]T，向量f=[f[0],⋯,f[M−1]]Tf=[f[0],\cdots,f[M-1]]^Tf=[f[0],⋯,f[M−1]]T，矩阵(W−)mn=(e−jΩmn)(W_-)_{mn}=(e^{-j\Omega mn})(W−)mn=(e−jΩmn)，矩阵(W+)mn=(ejΩmn)(W_+)_{mn}=(e^{j\Omega mn})(W+)mn=(ejΩmn)，经过简单的计算可以得到：
F=1MW−ff=W+FF=\frac{1}{M}W_-f \\ f=W_+F F=M1W−ff=W+F
其中W−W+=MW_-W_+=MW−W+=M，通过上式可以简便计算离散傅里叶级数的系数。

6 DFT 离散傅里叶变换

将离散傅里叶级数的1/M1/M1/M换个位置，就得到了离散傅里叶变换对
Fn=Σm=0M−1f[m]e−jΩmnf[k]=1MΣn=0M−1Fne−jΩknF_n=\Sigma_{m=0}^{M-1}f[m]e^{-j\Omega mn}\\ f[k]=\frac{1}{M}\Sigma_{n=0}^{M-1}F_ne^{-j\Omega kn} Fn=Σm=0M−1f[m]e−jΩmnf[k]=M1Σn=0M−1Fne−jΩkn
同样可以写成矩阵形式
F=W−ff=1MW+FF=W_-f \\ f=\frac{1}{M}W_+F F=W−ff=M1W+F
所以你让我承认这个东西是傅里叶变换我其实是拒绝的，它的本质和傅里叶级数一样，是使用幅值和基的方式表达，傅里叶变换应该是幅值密度和基的方式表达。

7 矩阵表达更方便的用处

其实用矩阵表达更方便地是求图像的频域。因为图像本来就是二维的有限采样，将它进行二维的无限长度沿拓，就可以进行傅里叶展开。
设图像的大小为M×NM\times NM×N，图像可以表达为矩阵fff，其频域图也可以表达为同样大小的矩阵FFF，令矩阵(M−)mn=(e−j2πMmn)(M_-)_{mn}=(e^{-j\frac{2\pi}{M}mn})(M−)mn=(e−jM2πmn)，(M+)mn=(ej2πMmn)(M_+)_{mn}=(e^{j\frac{2\pi}{M}mn})(M+)mn=(ejM2πmn)，(N−)mn=(e−j2πNmn)(N_-)_{mn}=(e^{-j\frac{2\pi}{N}mn})(N−)mn=(e−jN2πmn)，(N+)mn=(ej2πNmn)(N_+)_{mn}=(e^{j\frac{2\pi}{N}mn})(N+)mn=(ejN2πmn)，同样有：
M−M+=MN−N+=NM_-M_+=M \\ N_-N_+=N M−M+=MN−N+=N
经过简单的运算可以得到
F=M−fN−f=1MNM+FN+F=M_-fN_- \\ f=\frac{1}{MN}M_+FN_+ F=M−fN−f=MN1M+FN+
确实是，非常的方便。
但是仅限于完成数字图像处理课程的作业任务很方便，实际使用中咱都是直接调用人家的库函数运算，毕竟是FFT，Fast Fourier Transform不比这快多了。

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