模型参考自适应控制器(MRAC)系列: 2.提升瞬态性能

提升模型参考自适应瞬态性能

基于上一小节的推导,我们得到的误差动力学模型为:
e˙=Are−BpΛW~Tσ\dot{e}=A_re-B_p\Lambda\widetilde{W}^T\sigma e˙=Are−BpΛWTσ
参考模型动力学模型为:
x˙r=Arxr+Brr\dot{x}_r = A_rx_r+B_rr x˙r=Arxr+Brr
对比两者,我们可以发现它们拥有同的系统矩阵ArA_rAr,这意味着它们拥有相同的特征根,拥有相似的受迫运动特性. 这种特性在模型跟踪进入稳态之后并不会对系统造成可观的不利的影响. 但可能会导致系统的瞬态响应震荡.举个例子来说明:在刚开启自适应控制器的阶段,自适应参数均未收敛且距稳态值仍有较大误差. 若此时误差收敛速率过慢, 则很有可能在误差的驱动下过度补偿自适应参数, 导致系统持续震荡. (这个可以类比,PID控制器中的积分环节,上一小节已总结过模型参考自适应控制本质上就是非线性积分控制).

为了解决上述问题, 我们可以对误差动力学进行加速.这里的改进思路借鉴了参考状态观测器的设计方法, 即我们可以通过在参考模型中加入一个误差项来驱动误差动力学模型.增强后的模型如下:
x˙r=Arxr+Brr+Lv(xp−xr)=Arxr+Brr+Lve\dot{x}_r = A_rx_r+B_rr+L_v(x_p-x_r) = A_rx_r+B_rr+L_ve x˙r=Arxr+Brr+Lv(xp−xr)=Arxr+Brr+Lve
其中 LvL_vLv 是误差项的正增益.类比于状态观测器中的观测器增益.

根据增强后的参考模型,误差动力学方程为:
e˙=x˙p−x˙r=Arxp+Brr−BpΛW~Tσ−Arxr−Brr−Lve=(Ar−Lv)e−BpΛW~Tσ\begin{aligned}\dot{e} &=\dot{x}_p-\dot{x}_r\\ &=A_rx_p+B_rr-B_p\Lambda\widetilde{W}^T\sigma-A_rx_r-B_rr-L_ve\\ &=(A_r-L_v)e-B_p\Lambda\widetilde{W}^T\sigma \end{aligned} e˙=x˙p−x˙r=Arxp+Brr−BpΛWTσ−Arxr−Brr−Lve=(Ar−Lv)e−BpΛWTσ
定义 Av=Ar−LvA_v = A_r-L_vAv=Ar−Lv,则
e˙=Ave−BpΛW~Tσ\dot{e}=A_ve-B_p\Lambda\widetilde{W}^T\sigma e˙=Ave−BpΛWTσ
理论上来说,我们可以通过不断增大LvL_vLv让误差收敛速度无限快,当然实际应用中要考虑执行器饱和的问题,过大的增益是行不通. 除此之外,我们还要保证整个闭环系统拥有上一小节中的稳定性性质, 下一步,我们需要设计一个调整LvL_vLv增益的机制,使得其在加速误差收敛速度的同时能够保障闭环系统的李雅普诺夫稳定性.

同样的,借鉴状态观测器的设计思路,我们让 Lv=PvRv−1L_v = P_vR_v^{-1}Lv=PvRv−1 其中 Pv=PvT≻0P_v = P_v^T \succ0Pv=PvT≻0 是滤波黎卡提方程(FARE)的一个特解.

滤波黎卡提方程(FARE)的基本形式如下:
PvArT+ArPv−PvCvTRv−1CvPv+Qv=0P_vA_r^T+A_rP_v - P_vC_v^TR_v^{-1}C_vP_v + Q_v = 0 PvArT+ArPv−PvCvTRv−1CvPv+Qv=0
在我们的问题中, Cv=InxnC_v = I_{nxn}Cv=Inxn, 则FARE可简化为
PvArT+ArPv−PvRv−1Pv+Qv=0P_vA_r^T+A_rP_v - P_vR_v^{-1}P_v + Q_v = 0 PvArT+ArPv−PvRv−1Pv+Qv=0
其中(Qv,Rv)(Q_v,R_v)(Qv,Rv)为黎卡提方程的权重矩阵,且定义为
Qv=Q0+v+1vInxnRv=vv+1InxnLv=PvRv−1=(1+1v)Pv\begin{aligned} Q_v &= Q_0 + \frac{v+1}{v}I_{nxn} \\ R_v &= \frac{v}{v+1}I_{nxn} \\ L_v &= P_vR_v^{-1}=(1+\frac{1}{v})P_v \end{aligned} QvRvLv=Q0+vv+1Inxn=v+1vInxn=PvRv−1=(1+v1)Pv
其中,vvv是一个正实数.因此当 v→0,Lv→∞v \to 0 , L_v \to \inftyv→0,Lv→∞. 因此通过减小 vvv 的值, 我们可以获得更快的误差收敛(模型跟踪)速度.

接下来我们将LvL_vLv 和 PvRv−1P_vR_v^{-1}PvRv−1 代入到FARE中,将方程改写成含 AvA_vAv 项的形式,可得
Pv(Ar−PvRv−1)T+(Ar−PvRv−1)Pv+PvRv−1Pv+Qv=0PvAvT+AvPv=−Qv−PvRv−1Pv≺0\begin{aligned} &P_v(A_r-P_vR_v^{-1})^T+(A_r-P_vR_v^{-1})P_v + P_vR_v^{-1}P_v + Q_v = 0\\ &P_vA_v^T + A_vP_v = -Q_v - P_vR_v^{-1}P_v \prec 0 \end{aligned} Pv(Ar−PvRv−1)T+(Ar−PvRv−1)Pv+PvRv−1Pv+Qv=0PvAvT+AvPv=−Qv−PvRv−1Pv≺0

接下来,让我们对增强后的系统进行稳定性分析
我们李雅普诺夫候选函数为(和上一节相同)
V=eTPe+γ−1tr(W~Λ12)Ttr(W~Λ12)V=e^TPe+\gamma^{-1}tr(\widetilde{W}\Lambda^{\frac{1}{2}})^Ttr(\widetilde{W}\Lambda^{\frac{1}{2}}) V=eTPe+γ−1tr(WΛ21)Ttr(WΛ21)
其导数为:
V˙=eTPe˙+e˙TPe+2γ−1tr(ΛW~TW^˙)=eTP(Ave−BpΛW~Tσ)+(Ave−BpΛW~Tσ)TPe+2γ−1tr(ΛW~TW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2eTPBpΛW~Tσ+2γ−1tr(ΛW~TW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2tr(ΛW~TσeTPBp)+2γ−1tr(ΛW~TW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2γ−1tr(γΛW~TσeTPBp−ΛW~TW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2γ−1tr(ΛW~T(γσeTPBp−W^˙))\begin{aligned} \dot{V} &=e^TP\dot{e}+\dot{e}^TPe+2\gamma^{-1}tr(\Lambda\widetilde{W}^T\dot{\hat{W}})\\ &=e^TP(A_ve-B_p\Lambda\widetilde{W}^T\sigma)+(A_ve-B_p\Lambda\widetilde{W}^T\sigma)^TPe+2\gamma^{-1}tr(\Lambda\widetilde{W}^T\dot{\hat{W}})\\ &=e^T(PA_v+A_v^TP)e-2e^TPB_p\Lambda\widetilde{W}^T\sigma+2\gamma^{-1}tr(\Lambda\widetilde{W}^T\dot{\hat{W}})\\ &=e^T(PA_v+A_v^TP)e-2tr(\Lambda\widetilde{W}^T\sigma e^TPB_p)+2\gamma^{-1}tr(\Lambda\widetilde{W}^T\dot{\hat{W}})\\ &=e^T(PA_v+A_v^TP)e-2\gamma^{-1}tr(\gamma\Lambda\widetilde{W}^T\sigma e^TPB_p-\Lambda\widetilde{W}^T\dot{\hat{W}})\\ &=e^T(PA_v+A_v^TP)e-2\gamma^{-1}tr(\Lambda\widetilde{W}^T(\gamma\sigma e^TPB_p-\dot{\hat{W}})) \end{aligned} V˙=eTPe˙+e˙TPe+2γ−1tr(ΛWTW^˙)=eTP(Ave−BpΛWTσ)+(Ave−BpΛWTσ)TPe+2γ−1tr(ΛWTW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2eTPBpΛWTσ+2γ−1tr(ΛWTW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2tr(ΛWTσeTPBp)+2γ−1tr(ΛWTW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2γ−1tr(γΛWTσeTPBp−ΛWTW^˙)=eT(PAv+AvTP)e−2γ−1tr(ΛWT(γσeTPBp−W^˙))
与上一小节相同,自适应律设计为
W^˙=γσeTPBp\dot{\hat{W}}=\gamma\sigma e^TPB_p W^˙=γσeTPBp
这说明,通过这种方法提升模型跟踪的瞬态性能不会改变自适应律.
将自适应律和改写的FARE代入V˙\dot{V}V˙可得:
V˙=eT(PAv+AvTP)e=−Qv−PvRv−1Pv≺0\dot{V} = e^T(PA_v+A_v^TP)e = -Q_v - P_vR_v^{-1}P_v \prec 0 V˙=eT(PAv+AvTP)e=−Qv−PvRv−1Pv≺0
因此,根据李雅普诺夫第二稳定判据,系统在(依李雅普诺夫的观点)稳定. 同理,上一小节中的UUB性质也得到满足.

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