矩阵理论应用之反射变换的理解
问题：
设σ\sigmaσ是实平面R2R^{2}R2上的线性变换，其关于标准基的矩阵为
P=[css−c]P=\left[\begin{array}{cc}{c} & {s} \\ {s} & {-c}\end{array}\right] P=[css−c]其中c2+s2=1c^{2}+s^{2}=1c2+s2=1，证明σ\sigmaσ是反射变换，并计算其对称轴。
解：
由于det(λI−P)=λ2−1\operatorname{det}(\lambda I-P)=\lambda^{2}-1 det(λI−P)=λ2−1因此PPP相似于矩阵Q[100−1]\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {-1}\end{array}\right] [100−1]ξ1\xi_{1}ξ1与ξ2\xi_{2}ξ2分别为1与-1对应的特征向量，因此有：
{Pξ1=ξ1Pξ2=−ξ2\left\{\begin{array}{l}{P \xi_{1}=\xi_{1}} \\ {P \xi_{2}=-\xi_{2}}\end{array}\right. {Pξ1=ξ1Pξ2=−ξ2由于P是变换σ\sigmaσ关于标准基的矩阵表示，若将ξ1\xi_{1}ξ1与ξ2\xi_{2}ξ2看作是两个向量A与B分别在标准基下的坐标，则Pξ1=ξ1P \xi_{1}=\xi_{1}Pξ1=ξ1可看作是向量A在经过σ\sigmaσ变换后的结果在标准基下的坐标仍为ξ1\xi_{1}ξ1，即在变换前后其未发生变化；
而对于向量B来说，由于有Pξ2=−ξ2P \xi_{2}=-\xi_{2}Pξ2=−ξ2，因此向量B在标准基下的坐标在经过σ\sigmaσ变换后变成了原来的-1倍。
因此，这直观地说明了σ\sigmaσ变换为反射变换，其对称轴即为与镜面垂直的向量，因此对称轴即为ξ2\xi_{2}ξ2，即矩阵PPP的-1特征值对应的特征向量。
总结：反射变换在标准基下的矩阵表示的特征值必须为1或-1，且只有一个为-1的特征值。-1特征值对应的特征向量即为对称轴。
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