P4778 Counting swaps （组合数学，打表推通项公式，OEIS）

P4778 Counting swaps

分析：

每个 pip_ipi 向 iii 连边，便构成一张由若干个简单环组成的无向图，目标状态是 nnn 个自环的图

引理：把一个长度为n的环变成n个自环，最少需要n-1次交换操作（证明略）

设 f[n]f[n]f[n] 表示用最少的步数将一个长度为 nnn 的环变成 nnn 个自环，共有多少种操作方法

若将该环拆分成长度为 xxx 和 yyy 的两个环 (x+y=n)(x+y=n)(x+y=n) ，设 T(x,y)T(x,y)T(x,y) 表示有多少种交换方法，容易发现：
T(x,y)={n/2(x==y)n(x!=y)T(x,y)= \begin{cases} n/2\ (x==y)\\ n\ (x!=y)\\ \end{cases} T(x,y)={n/2 (x==y)n (x!=y)
两者各自变成自环的方法数为 f[x]f[x]f[x] 和 f[y]f[y]f[y] ，步数为 x−1x-1x−1 和 y−1y-1y−1

再根据多重集的排列数、加法原理和乘法原理：
f[n]=∑x+y=nT(x,y)∗f[x]∗f[y]∗(n−2)!(x−1)!(y−1)!f[n]=\sum_{x+y=n} T(x,y)*f[x]*f[y]*\frac{(n-2)!}{(x-1)!(y-1)!} f[n]=x+y=n∑T(x,y)∗f[x]∗f[y]∗(x−1)!(y−1)!(n−2)!
再回到题目，若最初的排列由长度为 l1,l2,...,lkl_1,l_2,...,l_kl1,l2,...,lk 的 kkk 个环构成：
ans=f[l1]∗f[l2]∗...∗f[lk]∗(n−k)!(l1−1)!∗(l2−1)!∗...∗(lk−1)!ans=f[l_1]*f[l_2]*...*f[l_k]*\frac{(n-k)!}{(l_1-1)!*(l_2-1)!*...*(l_k-1)!} ans=f[l1]∗f[l2]∗...∗f[lk]∗(l1−1)!∗(l2−1)!∗...∗(lk−1)!(n−k)!
但如果直接这么算，时间复杂度 (O(n2))(O(n^2))(O(n2)) ，会超时！

这个时候便需要万能神 OEISOEISOEIS 网站了，将 f[n]f[n]f[n] 的前几项输入到 oeisoeisoeis 中，得到通项公式 f[n]=nn−2f[n]=n^{n-2}f[n]=nn−2 , 便可优化到 (O(nlogn))(O(nlogn))(O(nlogn))
好东西要分享OEIS

打表的代码：

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;typedef long long ll;
const int N=1e5+5, mo=1e9+9;int ksm(int a,int b,int p=mo)
{int ans=1;while(b){if(b&1) ans=(ll)ans*a%p;b>>=1; a=(ll)a*a%p;}return ans;
}
int cal(int x,int y)
{if(x==y) return x;return x+y;
}
int f[N], fc[N];
void init()
{fc[0]=1;for(int i=1;i<=1000;i++) fc[i]=(ll)fc[i-1]*i%mo;f[1]=f[2]=1;for(int i=3;i<=100;i++){for(int j=1;j<=i>>1;j++){int inv=ksm((ll)fc[j-1]*fc[i-j-1]%mo, mo-2);f[i]=(f[i]+(ll)f[i-j]*f[j]%mo*fc[i-2]%mo*inv%mo*cal(i-j,j)%mo)%mo;}}for(int i=1;i<=10;i++) cout<<f[i]<<endl;
}
signed main()
{init();return 0;
}

Ac code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int N=1e5+5, mo=1e9+9;int ksm(int a,int b,int p=mo)
{int ans=1;while(b){if(b&1) ans=(ll)ans*a%p;b>>=1; a=(ll)a*a%p;}return ans;
}
int fc[N], f[N];
void init()
{fc[0]=1;for(int i=1;i<N;i++) fc[i]=(ll)fc[i-1]*i%mo;f[1]=1;for(int i=2;i<N;i++) f[i]=ksm(i,i-2);
}
int a[N], vis[N], cn[N];
int dfs(int u) // dfs查环的大小
{vis[u]=1;if(vis[a[u]]) return 1;return 1+dfs(a[u]);
}
void solve()
{int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) {cin>>a[i];vis[i]=0;}int tot=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i]) cn[++tot]=dfs(i);}int ans=fc[n-tot]; for(int i=1;i<=tot;i++){int inv=ksm(fc[cn[i]-1],mo-2);ans=(ll)ans*f[cn[i]]%mo*inv%mo;}cout<<ans<<endl;
}
signed main()
{ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);init();int T;cin>>T;while(T--) solve();return 0;
}

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