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一、递推方程示例 1
二、递推方程示例小结

一、递推方程示例 1

编码系统使用 888 进制数字 , 对信息编码 , 888 进制数字只能取值 0,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,70,1,2,3,4,5,6,7 ,

只有当某个编码含有偶数个 777 时 , 该编码才是有效的 ,

求 nnn 位的编码中有效的编码个数 ?

分析 :

nnn 位长的编码 , 可以由 n−1n-1n−1 位长的编码 , 后面加上一位 888 进制数字构成 ;

对于每个 n−1n-1n−1 位长的编码 , 后面加上一位数字 , 使得最终的编码满足有效编码的要求 , 即含有偶数个 777 , 就可以得到一个有效的 nnn 位长的编码 ;

1 . 设 nnn 位长的有效编码个数是 ana_nan 个 ;

则有 n−1n-1n−1 位长的有效编码个数是 an−1a_{n-1}an−1 个 ;

现在考虑 nnn 位长的编码与 n−1n-1n−1 位长的编码之间的关联关系 ;

( 1 ) 偶数个 777 : 假定当前已经有一个 n−1n-1n−1 位长的 888 进制编码串 , 恰好含有偶数个 777 , 即该编码已经满足有效编码的要求 , 在加上一位数字 :

不可以加的数字 : 不能加 777 , 加了 777 之后 , 就会变成奇数个 777 , 成为无效编码 ;
可以加的数字 : 只能加 0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6 数字 , 这里有 777 种方式 ;

由一个 n−1n-1n−1 位长的 , 满足要求的编码 , 有 777 种方式生成一个 nnn 位长的编码 ;

( 2 ) 奇数个 777 : 假定当前已经有一个 n−1n-1n−1 位长的 888 进制编码串 , 恰好含有奇数个 777 , 即该编码不满足有效编码的要求 , 在加上一位数字 :

不可以加的数字 : 不能加 0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6 数字 , 加了以后 , 最终结果还是有奇数个 777 , 不满足有效编码的要求 ;
可以加的数字 : 只能加 777 , 加了 777 之后 , 就会变成偶数个 777 , 成为有效编码 ;

由一个 n−1n-1n−1 位长的 , 不满足要求的编码 , 有 111 种方式生成一个 nnn 位长的编码 ;

3 . 总个数 8n−18^{n-1}8n−1 :

n−1n-1n−1 位长的编码的总数是 8n−18^{n-1}8n−1 个 , 每个位置都有 888 种可能的选择 , 有 n−1n-1n−1 个位置 ;

又可以表述成 : n−1n-1n−1 位长的包括 , 奇数个 777 , 偶数个 777 , 的编码总数是 8n−18^{n-1}8n−1

编码中如果没有 777 , 是 000 个 777 , 算偶数个 777 ;

4 . n−1n-1n−1 位编码的有效个数 an−1a_{n-1}an−1 :

n−1n-1n−1 位中 , 偶数个 777 的个数 , 就是有效编码的个数 , 即上述假设的

“设 nnn 位长的有效编码个数是 ana_nan 个” , 则有

"n−1n-1n−1 位长的有效编码个数是 an−1a_{n-1}an−1 个"

5 . n−1n-1n−1 位编码的无效个数 8n−1−an−18^{n-1} - a_{n-1}8n−1−an−1 :

n−1n-1n−1 位长的包括奇数个 777 , 偶数个 777 的编码总数是 8n−18^{n-1}8n−1

n−1n-1n−1 位中 , 偶数个 777 的个数 , 就是有效编码的个数 , 即上述假设的 an−1a_{n-1}an−1

则 n−1n-1n−1 位中 , 奇数个 777 的个数 , 就是无效编码的个数 , 即上述总个数减去有效编码个数 , 结果是 :

8n−1−an−18^{n-1} - a_{n-1}8n−1−an−1

6 . 分析第 nnn 项与 n−1n-1n−1 项之间的关系 , 即 nnn 位有效编码个数与 n−1n-1n−1 位有效编码个数 :

有效编码个数对应的添加方法数 : n−1n-1n−1 位编码的有效个数 an−1a_{n-1}an−1 , 含有偶数个 777 , 每个有效编码 , 添加一位数字 , 组成 nnn 位有效编码 , 有 777 种对应的添加方式 , 即添加 0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6 数字 , 七种方式 ; 方法数是 7an−17a_{n-1}7an−1

无效编码个数对应的添加方法数 : n−1n-1n−1 位编码的无效个数 8n−1−an−18^{n-1} - a_{n-1}8n−1−an−1 , 还有奇数个 777 , 每个无效编码 , 只能添加一个数字 777 , 组成 nnn 位有效编码 , 只有一种方法 ; 方法数是 8n−1−an−18^{n-1} - a_{n-1}8n−1−an−1

因此这里可以写出 nnn 位编码的有效个数 ana_nan 与 n−1n-1n−1 位编码有效个数 an−1a_{n-1}an−1 的关系 :

ana_nan === 7an−17a_{n-1}7an−1 +++ 8n−1−an−18^{n-1} - a_{n-1}8n−1−an−1

化简后得到 :

ana_nan === 6an−16a_{n-1}6an−1 +++ 8n−18^{n-1}8n−1

7 . 初值讨论

如果只有 111 位编码 , 肯定不能是 777 , 这样就含有奇数个 ( 111 个 ) 777 , 是无效编码 ;

只能是 0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6 这 777 种 , 因此有 111 位编码时 , 有效编码个数是 777 个 ,

产生递推方程初值 a1=7a_1 = 7a1=7

8 . 最终得到的递推方程 :

递推方程 : ana_nan === 6an−16a_{n-1}6an−1 +++ 8n−18^{n-1}8n−1

初值 : a1=7a_1 = 7a1=7

解上述递推方程的通项公式 : an=6n+8n2a_n = \cfrac{6^n + 8^n}{2}an=26n+8n

二、递推方程示例小结

该问题是一个具体的计数问题 , 上述问题并不是简单的计数 ,

该计数带参数 nnn ,

这种类型的计数 , 可以看成一个数列计数结果 ,

如果可以找到该数列 , 后项 , 前项 , 的依赖关系 ,

并且知道初值 ,

就可以解出该数列的通项公式 ,

该通项公式就恰好对应该计数结果 ;

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