NMF非负矩阵分解算法（Non-negative Matrix Factorization）

NMF的基本思想可以简单描述为：
对于任意给定的一个非负矩阵V，NMF算法能够寻找到一个非负矩阵W和一个非负矩阵H，使得满足，从而将一个非负的矩阵分解为左右两个非负矩阵的乘积。如下图所示，其中要求分解后的矩阵H和W都必须是非负矩阵。

矩阵V分解为左矩阵W和右矩阵H，可理解为原始矩阵V的列向量是H中的所有列向量的加权和，对应的权重系数则是W的列向量的元素，所有H称为基矩阵，W称为系数矩阵。

NMF在人脸识别的应用中和PCA还有VQ分解不同。VQ分解是用一张完整的图像直接代表源脸部图像；PCA是将几个完整人脸加减压成一张脸；而NMF是取甲的眼睛，乙的鼻子，丙的嘴巴直接拼成一张脸，也就是说NMF分解后的基矩阵H是每张人脸的一个特征部分，例如眼睛，鼻子，嘴巴等，然后权重矩阵对这些特征进行加权处理从而得到一张完整的人脸。如下图所示3种矩阵分解方式的区别。

具体算法流程

非负矩阵分解中，代码采用的是原始论文中提及的基于乘法更新发展的迭代更新算法，其将矩阵分解算法转化为如下的优化问题，即最小化两个矩阵之间的欧几里得距离的优化问题：

其中V为原始矩阵，V’ 为分解后的矩阵重构而成的矩阵，即，乘法更新规则如下：

H矩阵的更新：，其中是指矩阵的第 α 行第 μ 列元素，当时，对应位置元素不做更新。

W矩阵的更新：，其中 iα 是指矩阵的第 i 行第 α 列元素，当时，对应位置元素不做更新。

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