范德蒙行列式计算以应用

2024-05-12 03:35:20

第 1 列的全部的 1，其实可视为，各个数的 0 次幂；
最后计算乘积时，是右侧的减去左侧，下侧的减去上侧的；

0. 范德蒙行列式的证明

数学归纳法，D2D2 显然成立，当 Dn−1D_{n-1} 也成立时，DnD_{n} 是否成立？

Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1a1a21⋮an−111a2a22⋮an−121a3a23⋮an−13………⋱…1ana2n⋮an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣

D_n=\begin{vmatrix} 1&1&1&\ldots&1\\ a_1&a_2&a_3&\ldots&a_{n}\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\ldots&a_{n}^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\ldots&a_{n}^{n-1}\\ \end{vmatrix}

然后对 DnD_{n} 进行整理，从最后一行开始，rn:=rn−a1⋅rn−1r_n:=r_n-a_1\cdot r_{n-1}（下一行 := 下一行 - a1a_1上一行），因此往上：

Dn==∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮01a2−a1a22−a2a1⋮an−12−an−22a11a3−a1a23−a3a1⋮an−13−an−23a1………⋱…1an−a1a2n−ana1⋮an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣=(a2−a1)(a3−a1)⋯(an−a1)Π2≤j<i≤n(xi−xj)

D_n==\begin{vmatrix} 1&1&1&\ldots&1\\ 0&a_2-a_1&a_3-a_1&\ldots&a_{n}-a_1\\ 0&a_2^2-a_2a_1&a_3^2-a_3a_1&\ldots&a_{n}^2-a_na_1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a_2^{n-1}-a_2^{n-2}a_1&a_3^{n-1}-a_3^{n-2}a_1&\ldots&a_{n}^{n-1} \end{vmatrix}=(a_2-a_1)(a_3-a_1)\cdots (a_n-a_1)\Pi_{2\leq j\lt i\leq n}(x_i-x_j)

得证；

1. 镶边法计算准范德蒙行列式

试计算如下行列式：

∣∣∣∣∣∣1aa2a41bb2b41cc2c41dd2d4∣∣∣∣∣∣

\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^4&b^4&c^4&d^4 \end{vmatrix}

长得太像范德蒙行列式了，做如下镶边：

∣∣∣∣∣∣∣∣1aa2a3a41bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2x3x4∣∣∣∣∣∣∣∣

\begin{vmatrix} 1&1&1&1&1\\ a&b&c&d&x\\ a^2&b^2&c^2&d^2&x^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3&x^3\\ a^4&b^4&c^4&d^4&x^4 \end{vmatrix}

因此整个行列式的值为：
(x−a)(x−b)(x−c)(x−d)(d−a)(d−b)(d−c)(c−a)(c−b)(b−a)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)，此时，我们仅看 x3x^3 项的系数（负的原行列式的值），(a+b+c+d)(d−a)(d−b)(d−c)(c−a)(c−b)(b−a)(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)

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