“ 两个随机变量的联合概率分布、边缘概率分布和条件概率分布”

随机变量是定义在样本空间上的数值函数，在介绍离散随机变量和连续随机变量的时候，我们仅仅讨论样本空间上的一个随机变量。如果我们对样本空间的两种特性或变量感兴趣，那么就需要在样本空间上定义两个随机变量，这两个随机变量交集的概率分布称为二元概率分布。本文将带领你认识二元概率分布中的几个基本概念--联合概率分布、边缘概率分布和条件概率分布。

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离散随机变量的二元概率分布

联合概率分布

假如我们对样本空间中的每个简单事件指定两个数，一个对应于离散随机变量X，另一个对应离散随机变量Y，那么每一个简单事件将对应两个数值事件(X的取值和Y的取值)。

用字母A表示数值事件X，用字母B表示数值事件Y，则两个数值事件交集的概率可表示为：

能够给出所有X和Y取值的每一个组合(x,y)概率的图、表、公式称作X和Y的联合概率分布(二元概率分布)。根据事件的交的运算法则，可得联合概率分布的计算公式：

其中，p1(x)和p2(y)分别是X和Y的边缘概率分布，p1(x|y)和p2(y|x)分别是X和Y的条件概率分布，详见下文。

联合概率分布具有如下性质：

边缘概率分布

如果样本空间上被定义了两个随机变量X和Y，但是我们仅仅对X的观测值感兴趣，或者只对Y的观测值感兴趣，给出X所有取值的概率的图、表、公式称为X的边缘概率分布；同样地，给出Y所有取值的概率的图、表、公式称为Y的边缘概率分布。

为了方便起见，当提及X的概率分布时，使用下标1，提及Y的概率分布时，使用下标2。假设p(x,y)是X和Y的联合概率分布，则X和Y的边缘概率分布的计算公式如下所示：

边缘概率分布具有如下性质(以X的边缘概率分布为例)：

条件概率分布

在给定Y=y的条件下，发生数值事件X=x的概率是事件Y=y下X=x发生的条件概率。能够给出所有Y取值下所有X取值的条件概率的图、表、公式称为给定Y时X的条件概率分布。

假设p(x,y)是X和Y的联合概率分布，p1(x)和p2(y)分别是X和Y的边缘概率分布，则条件概率分布的计算公式如下所示：

条件概率分布具有如下性质(以给定Y时X的条件概率分布为例)：

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连续随机变量的二元概率分布

联合概率密度函数

离散随机变量的二元概率分布中的定义也适用于连续随机变量，不同之处在于离散随机变量的概率是求和，而连续随机变量的概率是求积分。

与离散随机变量的联合概率分布类似，连续随机变量X和Y的联合概率密度函数f(x,y)的计算公式如下所示：

其中，f1(x)和f2(y)分别是X和Y的边缘概率密度函数，f1(x|y)和f2(y|x)分别是X和Y的条件概率密度函数，详见下文。

联合概率密度函数具有如下性质：

边缘概率密度函数

假设f(x,y)是连续随机变量X和Y的联合概率密度函数，则X和Y的边缘概率密度函数分别为：

边缘概率密度函数具有如下性质(以X的边缘概率密度函数为例)：

条件概率密度函数

假设f(x,y)是连续随机变量X和Y的联合概率密度函数，则X和Y的条件概率密度函数分别为：

同样，条件概率密度函数具有如下性质(以给定Y时X的条件概率密度函数为例)：

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应用举例

离散随机变量的二元概率分布

如下图所示，从总体中随机抽取2个球，令X表示抽出1号球的个数，令Y表示抽出蓝球的个数，求X和Y的联合概率分布、边缘概率分布和条件概率分布。

解：

1)联合概率分布

1号球个数X的可能取值为0、1、2，蓝球个数Y的可能取值也是0、1、2，因此一共有9种组合的(x,y)。从5个球中抽取出2个球的可能方法有5!/(2!*3!)=10种，根据简单事件的计数法则，易得X和Y的联合概率分布：

即p(0,1)=1/10，p(1,0)=1/10，p(1,1)=3/10，p(1,2)=2/10，p(2,1)=2/10，p(2,2)=1/10；

2)边缘概率分布

根据边缘概率分布的计算式，易得X和Y的边缘概率分布：

即X的边缘概率分布为p1(0)=1/10，p1(1)=6/10，p1(2)=3/10；Y的边缘概率分布为p2(0)=1/10，p2(1)=6/10，p2(2)=3/10；

3)条件概率分布

根据公式可知，条件概率分布等于联合概率分布除以边缘概率分布，例如p1(0|1)=p(0,1)/p2(1)=1/6，如下图所示：

因此，给定Y时X的条件概率分布为：

p1(0|0)=0，p1(1|0)=1，p1(2|0)=0；

p1(0|1)=1/6，p1(1|1)=1/2，p1(2|1)=1/3；

p1(0|2)=0，p1(1|2)=2/3，p1(2|2)=1/3；

给定X时Y的条件概率分布为：

p2(0|0)=0，p2(1|0)=1，p2(2|0)=0；

p2(0|1)=1/6，p2(1|1)=1/2，p2(2|1)=1/3；

p2(0|2)=0，p2(1|2)=2/3，p2(2|2)=1/3；

连续随机变量的二元概率分布

假设连续随机变量X和Y的联合概率密度函数为：

求边缘概率密度函数f1(x)，以及条件概率密度函数f2(y|x)。

解：

1)边缘概率密度函数

X的边缘概率密度函数为：

2)条件概率密度函数

给定X时Y的条件概率密度函数为：