巴特沃斯（Butterworth）滤波器的设计和幅频特性曲线绘制

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设计滤波器的参考链接
绘制伯德图的源码参考链接

一、设计Butterworth滤波器

设计滤波器，其实就是设计传递函数，butterworth低通滤波器的传递函数如下：

对于butterworth高通滤波器，唯一的区别是分子项，从1变为s^N。
高低通Butterworth滤波器归一化后的系数如下：
（所谓归一化，就是只按照阶数来定系数，不考虑截止频率）

反归一化过程（考虑截止频率）：将s用以下公式代替，wc为截止频率，单位rad/s。

就得到考虑了阶数以及截至频率的Butterworth滤波器的传递函数。

1.1 利用matlab获取滤波器的归一化系数

在Matlab中，通过改变下面代码的N值（阶数），可以得到任意阶的归一化系数，（上面只给出了10阶的，你可以对比看看对不对）。

clc;clear
N = 10;%阶数
wc = 1;%截至频率设置为1rad/s，这样相当于归一化[B,A]= butter(N,wc,'s')  %代入N和wn设计低通巴特沃斯模拟滤波器
%[B,A]= butter(N,wc,'high','s')  %代入N和wn设计高通巴特沃斯模拟滤波器
B=B./B(N);
A=A./B(N);

1.2 设计低通Butterworth滤波器

还记得上面说的吗？设计滤波器就是设计传递函数的分子项和分母项的系数。

 %% butterworth滤波器的归一化系数，共7阶coff=[1 1 0 0 0 0 0 0;1 sqrt(2) 1 0 0 0 0 0;1 2 2 1 0 0 0 0;1 2.6131 3.4142 2.6131 1 0 0 0;1 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1 0 0;1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1 0;1 4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.4940 1];N=4;%滤波器的阶数wc=90;%单位Hzwc=2*pi*wc;%转换为rad/snum1=[0 0 0 0 1];   %分子系数for i=1:(N+1)den1(i)=coff(N,i)*(1/wc)^(N-i+1);%分母系数end%整理系数num1=num1/den1(1);den1=den1/den1(1);

1.3 设计高通Butterworth滤波器

高低通的区别，仅仅只是分子项的区别。
对于低通，分子项为1；——以5阶为例为[0 0 0 0 1]
对于高通，分子项为s^n;——以5阶为例为[1 0 0 0 0]

 %% butterworth滤波器的归一化系数，共7阶coff=[1 1 0 0 0 0 0 0;1 sqrt(2) 1 0 0 0 0 0;1 2 2 1 0 0 0 0;1 2.6131 3.4142 2.6131 1 0 0 0;1 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1 0 0;1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1 0;1 4.4940 10.0978 14.5918 14.5918 10.0978 4.4940 1];N=4;%滤波器的阶数wc=90;%单位Hzwc=2*pi*wc;%转换为rad/snum1=[1 0 0 0 0];   %分子系数for i=1:(N+1)den1(i)=coff(N,i)*(1/wc)^(N-i+1);%分母系数end%整理系数num1=num1/den1(1);den1=den1/den1(1);

二、C++源码——绘制伯德图

头文件和cpp文件见最末尾，具体使用方法如下：

//在应用的头文件类中
#include "bode.h"Bode HighPassCurveData;//高通滤波器数据//在应用的cpp文件中
//butterworth滤波器的归一化系数，共8阶
double coff[8][9]={1,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1.4142,1,0,0,0,0,0,0,1,2,2,1,0,0,0,0,0,1,2.6131,3.4142,2.6131,1,0,0,0,0,1,3.2361,5.2361,5.2361,3.2361,1,0,0,0,1,3.8637,7.4641,9.1416,7.4641,3.8637,1,0,0,1,4.4940,10.0978,14.5918,14.5918,10.0978,4.4940,1,0,1,5.1258309,13.1370712,21.846151,25.6883559,21.846151,13.1370712,5.1258309,1};//更新高通滤波器的幅频曲线
HighPassCurveData._TF.n=OrderHighPass+1;
HighPassCurveData._TF.d=OrderHighPass+1;//定义分子项系数
double tempvalue=1.0/(2*PI*CutOffFreqHighPass);
HighPassCurveData._TF.num[0]=pow(tempvalue,OrderHighPass);;
for(int i=1;i<HighPassCurveData._TF.n;++i)
{HighPassCurveData._TF.num[i]=0;
}//定义分母项系数
for(int i=0;i<HighPassCurveData._TF.d;++i)
{HighPassCurveData._TF.den[i]=coff[OrderHighPass-1][i]*pow(tempvalue,OrderHighPass-i);
}HighPassCurveData._wlen=LEN;//幅频特性曲线的数据长度
HighPassCurveData.freData  = new struct fre[LEN];
HighPassCurveData.BodeData =new struct BodeNum[LEN];
for(int i=0;i<LEN;i++)
{HighPassCurveData.freData[i].f=Xaxisdata[i];//幅频特性曲线的X轴坐标，单位HzHighPassCurveData.freData[i].w=HighPassCurveData.freData[i].f*2*PI;//转换单位为rad/s
}
//计算幅频特性曲线各频点的幅度值
HighPassCurveData.compute();

头文件如下：

#ifndef BODE_H
#define BODE_H
/******************************************************************************
* 文件       ：    bode.h
* 作者       ：     dhs 746769845@qq.com
* 版本       ：    V1.0
* 日期       ：    2020-7-31
* 描述       ：    给定传递函数绘制，计算对应的波特图坐标的数据（幅值、相角）
*
******************************************************************************/
#include <complex>
#include <cmath>
using namespace std;#define PI 3.1415926535
/*传递函数结构体*/
struct TransferFunction
{double num[10]; //传递函数分子项double den[10]; //传递函数分母项char  n;       //分子个数char  d;       //分母个数
};
/*幅值、相角结构体*/
struct BodeNum
{double mag;      //幅值 dbdouble phase;    //相角 度（角度）
};
/*频率、角频率结构体*/
struct fre
{double f;       //频率 Hzdouble w;       //角频率 rad/s
};
class Bode
{public:Bode(struct TransferFunction TF);  //传入传递函数~Bode();struct BodeNum *compute();         //完成计算struct fre *logspace(int start, int stop, int num=50, int base=10.0);//产生输入的频率数组int getWlen(){return _wlen;}      //获取数组长度private:struct TransferFunction _TF;      //传递函数double *_w;                        //频率指针int _wlen;                        //频率长度struct fre *freData;              //频率、角频率struct BodeNum *BodeData;         //幅值、相角
};#endif // BODE_H

cpp文件如下：


/******************************************************************************
* 文件       ：    bode.h
* 作者       ：     dhs 746769845@qq.com
* 版本       ：    V1.0
* 日期       ：    2020-7-31
* 描述       ：    给定传递函数绘制，计算对应的波特图坐标的数据（幅值、相角）
*
******************************************************************************/
#include "bode.h"/*******************************************************************************
* 函 数 名         : Bode
* 函数功能         : bode类，构造函数
* 输入参数         : TF          --> 传入传递函数
* 返 回 值         : 无
*******************************************************************************/
Bode::Bode(struct TransferFunction TF):_TF(TF)
{freData  = 0;BodeData = 0;
}
/*******************************************************************************
* 函 数 名         : compute()
* 函数功能         : bode图数据计算
* 输入参数         : 无
* 返 回 值         : bode图计算后的数据（数组指针）
*******************************************************************************/
struct BodeNum *Bode::compute()
{int i=0;int j=0;complex<double> ds,ms,s,j1;if(freData ==0){return 0;}ds=ms={0,0};j1={0,1};                //虚数单位for (i=0; i<_wlen; i++){s=j1*freData[i].w; //传递函数中的 s用jw代入ms ={0,0};         //保存分子项ds ={0,0};         //保存分母项for (j=0; j<_TF.n; j++){ms= ms * s + _TF.num[j];}for (j=0; j<_TF.d; j++){ds= ds * s + _TF.den[j];}s = ms/ds;BodeData[i].mag = 20.0 * log10(abs(s));       //20倍 log10幅度值BodeData[i].phase = atan2(s.imag(),s.real()) * 180.0 / PI;  //相角值}return BodeData;
}
/*******************************************************************************
* 函 数 名         : logspace
* 函数功能         : 生成频率
* 输入参数         : start-->对数开始的冥
*                   stop -->对数结束的冥
*                   num  --> 生成频率的个数 默认50
*                   base --> 对数的底  默认为10
*                  例：logspace(-2, 5, 200, 10)  //表示从0.01Hz~0.1MHz按照10倍频的间距 生成200个频率
* 返 回 值         : 返回生成的频率（数组指针）
*******************************************************************************/
struct fre *Bode::logspace(int start, int stop, int num, int base)
{double step=0;int i =0;_wlen = num;freData  = new struct fre[num];BodeData =new struct BodeNum[num];step =(stop-start)/(num-1.0);for(i=0;i<num; i++){freData[i].f=pow(base, start+step*i);freData[i].w=freData[i].f*2*PI;}return freData;}
/*******************************************************************************
* 函 数 名         : ~Bode
* 函数功能         : 析构
* 输入参数         :
* 返 回 值         :
*******************************************************************************/
Bode::~Bode()
{delete BodeData;delete freData;}

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