电力线和磁力线

为了能够形象的描述空间中的矢量场，我们引入力线的概念(我们总是喜欢用一些简单的事物去描述一些我们看不见摸不着的东西，人类的智慧)。一般来说，力线可以很形象的描述矢量场的一些基本特征，比如表现矢量场的旋度，矢量的方向等等。
电力线顾名思义就是描述电矢量的力线，比如一个静电荷所产生的电场强度就是一个矢量场，那么此时就可以用力线去描述这个矢量场，得到就是我们所谓的电力线。在空间中，过任意一点的电力线的切线方向就是该点的电场强度所对应的电场方向，我们可以通过电力线可以明显看出电场强度的分布特点，比如哪些地方的强度大，哪些地方会小一点。
静电荷产生的电场是静电场，是典型的有源无旋场，我们会采用数学语言进行表达就是
∇⋅E=ρε0∇×E=0\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\boldsymbol{\varepsilon }_0} \\ \nabla \times \boldsymbol{E}=0 ∇⋅E=ε0ρ∇×E=0
通常情况下，我们会利用矢量分析里面的高斯定理和斯托克斯定理去进行等价的积分转化(这个是我们在实际应用中最为广泛的，直接使用微风表达式不是很清楚，对我们的理解上也造成困扰)
∮lE⋅dl=∫S(∇×E)⋅dS=0\oint_l{\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}}=\int_S{\left( \nabla \times \boldsymbol{E} \right) \cdot d\boldsymbol{S}}=0 ∮lE⋅dl=∫S(∇×E)⋅dS=0
类似的道理，稳恒电流所产生的静磁场也是一个矢量场，同样可以用磁力线来表示，可以用磁场强度(H)或者磁感应强度(B)，同样，磁力线全部围绕电流呈现闭合曲线，反映了磁场的“有旋无源”的性质,用数学语言表达为：
∇×B=μ0J∇⋅B=0\nabla \times \boldsymbol{B}=\mu _0\boldsymbol{J} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 ∇×B=μ0J∇⋅B=0
相同的道理我们可以用等价的积分表达形式：
∮lB⋅dl=μ0I∮SB⋅dS=0\oint_{\boldsymbol{l}}{\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}}=\mu _0\boldsymbol{I} \\ \oint_S{\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}}=0 ∮lB⋅dl=μ0I∮SB⋅dS=0

电力线和磁力线的可视化

所谓的电力线和磁力线的可视化，就是对于一个已知的系统进行矢量描述，通常有两种方法，数值法和解析法；数值法对于那些难以进行解析计算的系统或者说无法进行解析计算的系统而言，此时我们就需要对我们的微分方程进行有限元的一些方法进行计算（这个之后有时间详细更新）；解析法就是对于系统的微分方程能够接出来一个明确的表达式，我们对表达式进行matlab绘图就好了。
在MATLAB里面，最基本的绘制力线的方法就是利用quiver函数，这个其实上一节已经说到了，但是在这里继续重述一下。
这里我们利用最简单，也是我们最常见的一种系统来说明我们的函数的使用方法，即双点电荷形成的系统，对于该系统，我们可以得到电势的表达式为：
ϕ=Q1(x+a)2+y2+Q2(x−a)2+y2\boldsymbol{\phi }=\frac{Q_1}{\sqrt{\left( x+a \right) ^2+y^2}}+\frac{Q_2}{\sqrt{\left( x-a \right) ^2+y^2}} ϕ=(x+a)2+y2Q1+(x−a)2+y2Q2
这里我们假设电荷的位置a=sqrt(2)a=sqrt(2)a=sqrt(2)

[X,Y]=meshgrid(linspace(-1,1,10));
Phi=(1./sqrt(Y.^2+(X-sqrt(2)).^2)-1./sqrt(Y.^2+(X+sqrt(2)).^2));
[DX,DY]=gradient(-Phi);
contour(X,Y,Phi,10);
hold on
quiver(X,Y,DX,DY);
axis([-1 1 -1 1]);

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