next数组两种求法

一、说明
（１）看到网上同一个字符串求 next 数组的值有两种，一种是 -1 开头，一种是 0 开头，虽然有差别，但是以 0 开头的next数组的每一项都比以 -1 开头的next数组的对应项大1，所以，具体是以 0 开头还是以 -1 开头看需要吧，算法都是一样的．KMP 的原始论文（K，M，P 三个家伙写的原文）中是以 0 开头的，所以下面的写法是以 0 开头的．
（２）关于 next 数组的求法，网上能找到很多流行简洁的写法，也有很多文章对简洁代码讲解得非常细致，然而本文并不是对流行算法的剖析，而只是记录一下自己比较喜欢的计算方法，并用代码实现一下．

二、求法的文字描述

（1）第一种求法：根据前一个字符的next值求字符串记作 p；next 数组记作 next；

约定：

下标从 1 开始算，注意，不是从 0 开始算
字符串长度 >2

1）第一个字母的 next 值置 0 （next[1] = 0），第二个字母的 next 值置 1（next[2] = 1）；
2）从第 3 个开始，计算第 i 个位置的 next 值时，检查

p[i-1]== p[next[i-1]] ?（即这两个值是否相等）

解释：第 i 个位置的前一个位置的值（即 p[i-1]，记作 m）与以 m 的 next 值（即 next[i-1]）为下标的值（即 p[next[i-1]]，记作 n）是否相等，（看的懵懵的也没关系，后面会有例子）

若相等，则 next[i] = next[i-1] + 1
若不等，则继续往回找，检查

p[i-1]== p[next[next[i-1]]] ?
- 若相等，则 next[i] = next[next[i-1]] + 1
- 若不等，则继续往回找，直到找到下标为 1 还不等（即字符串第一个元素），直接赋值 next[i] = 1

（2）第二种求法：根据最大公共元素长度求
首先附上讲解的博文地址，里面有详细讲解
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7041827

1）算出每一个字母前缀后缀的最大公共元素长度
2）最大公共元素长度整体向后移动一个长度，最前面的元素值填 -1，即为 next 数组的第一版本
3）（如果你需要的 next 数组第一个值为 -1，这步就可以省略了）next 数组的每一个值分别+1，即求得 next 数组。

三、实例

字符串 P =“ababaaababaa”

求解：
（1）对应上面第一种求法
1）初始化

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1

2）求下标为 3 的字符的 next 值
P[3-1] = P[2] = ‘b’;
next[3-1] = next[2] = 1 ;
P[next[3-1]] = P[1] = ‘a’;
P[3-1] != P[next[3-1]] ，但是此时已经回溯到了第一个元素，
∴ 直接P[3] = 1 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1

3）求下标为 4 的字符的 next 值
P[4-1] = P[3] = ‘a’;
next[4-1] = next[3] = 1 ;
P[next[4-1]] = P[1] = ‘a’;
P[4-1] == P[next[4-1]] ;
∴ next[4] = next[4-1] + 1 = 2 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2

4）求下标为 5 的字符的 next 值
P[5-1] = P[4] = ‘b’;
next[5-1] = next[4] = 2 ;
P[next[5-1]] = P[2] = ‘b’;
P[5-1] == P[next[5-1]] ;
∴ next[5] = next[5-1] + 1 = 3 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3

5）求下标为 6 的字符的 next 值
推导过程同上 => next[6] = next[6-1] + 1 = 4 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4

6）求下标为 7 的字符的 next 值
P[7-1] = P[6] = ‘a’;
next[7-1] = next[6] = 4 ;
P[next[7-1]] = P[4] = ‘b’;
P[7-1] != P[next[7-1]] && 此时还未回到第一个，继续
next[next[7-1]] = next[4] = 2 ;
P[next[next[7-1]]] = P[2] = ‘b’;番外（1）
P[7-1] != P[next[next[7-1]]] && 但是此时还未回到第一个，继续
next[next[next[7-1]]] = next[2] = 1 ;
P[next[next[next[7-1]]]] = P[1] = ‘a’ ;
P[7-1] == P[next[next[next[7-1]]]] ;
∴ next[7-1] = next[next[next[7-1]]] + 1 = next[2] + 1 = 2 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2

7）求下标为 8 的字符的 next 值
P[8-1] = P[7] = ‘a’；
next[8-1] = next[7] = 2 ;
P[next[8-1]] = P[2] = ‘b’;
P[8-1] != P[next[8-1]] ,但是还没回到第一个元素，继续
next[next[8-1]] = next[2] = 1 ;
P[next[next[8-1]]] = P[1] = ‘a’;
P[8-1] == P[next[next[8-1]]];
∴ next[8] = next[next[8-1]] + 1 = 2

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2

8）求下标为 9 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[9] = next[9-1] + 1 = 3 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3

9）求下标为 10 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[10] = next[10-1] + 1 = 4 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4

10）求下标为 11 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[11] = next[11-1] + 1 = 5 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4	5

11）求下标为 12 的字符的 next 值
推导过程同4) => next[12] = next[12-1] + 1 = 6 ;

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
next	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4	5	6

（2）对应上面第二种求法
1）算出每一个字母前缀后缀的最大公共子串长度（下一步会把最后一位移走，所以最后一位可以不算）番外（2）

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
前后缀最大公共子串长度	0	0	1	2	3	1	1	2	3	4	5

2）最大公共子串长度整体向后移动一个长度，最前面的元素值填 -1，即为 next 数组的第一版本

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
next 数组第一版	-1	0	0	1	2	3	1	1	2	3	4	5

3）（如果你需要的 next 数组第一个值为 -1，这步就可以省略了）next 数组的每一个值分别+1，即求得 next 数组。

P	a	b	a	b	a	a	a	b	a	b	a	a
next 数组第二版	0	1	1	2	3	4	2	2	3	4	5	6

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