莫比乌斯函数的两种求法（基于欧拉筛、埃氏筛）

给出莫比乌斯函数的定义：

这里的n即u(i)中的i，即i=1时，u(1)=1；i大于1且i中某个质因子的幂超过1，则u(i)=0；否则，u(i)取决于其质因子个数的奇偶性。

这里给出两个莫比乌斯函数的性质：

简略证明性质1：
由唯一分解定理，在n的因子中，某个因子的质因子的幂超过1，那么u(d)=0,对于性质1我们不用管他，所以只研究质因子的幂全是1次的因子就行。假设n有质因子k个，那么，性质1可以转化成以下式子，即在k个质因子中选i个组成因子，因为i是奇数的时候，这个因子的莫比乌斯函数值是-1，所以奇数项全是负的，偶数项全是正的。

由二项式系数奇数项的和等于偶数项的和，在k>0时，这个式子不论k的奇偶，结果就是0；k=0时，即n=1时，这个式子的结果是1。

简略证明性质2：
先略过，会了再补充。

基于埃氏筛O(nloglogn)的方法求n以内的数的莫比乌斯函数：

const int N=1e6+10;
int mo[N];
void init(int n)
{mo[1]=1;for(int i=1;i<=n/2;i++){if(mo[i]!=0){for(int j=i*2;j<=n;j+=i)mo[j]-=mo[i];}}
}

基于欧拉筛O(n)的方法求n以内的数的莫比乌斯函数：

const int N=1e6+10;
bool vis[N];
int p[N],mo[N],cnt=0;
void init(int n)
{mo[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]){p[++cnt]=i;mo[i]=-1;}for(int j=1;j<=cnt;j++){if(i*p[j]>n)break;vis[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0)break;mo[i*p[j]]=-mo[i];}}
}

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