求解车流量之线性方程组

【问题描述】

【问题要求】

【背景补充】

【问题解答】

【衍生问题】

【python代码展示】

【模型总结】

【问题描述】

图1 中的网络是，某市区一些单行道在一个下午，早些时候（以每小时车辆数目计算）的交通流量．

图1

【问题要求】

计算该网络的车流量

【背景补充】

什么是网络？

答：一个网络包含一组称为结合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接部分或全部节点，留的方向在每个分支上有标示，流量（或速度）也有显示或用变量标记。

网络流的基本假设是什么？

答：网格总流入量等于总流出量，且流经一个节点的总输入等于总输出。

【例】

如图2示，x1和x2标记该节点经过其他分支的流出，因为流量在每个节点中是守恒的，我们有

x1 + x2 = 30 ,类似地，每个节点的流量可以用一个方程描述，网络分析的问题就是确定当局部信息（如网络的输入和输出）已知时，每一分支的流量。

图2

【问题解答】

写出该流量的方程组，并求其通解。

如图3所示，标记道路交叉口（节点）和末知的分支流量。在每个交叉口，令其车辆驶入数目等于车辆驶出数目。

图3

并且，网络中的总流入量（500+300+100+400）等于总流出量（300+x,+600），经简化得

x3 = 400
该方程与上面四个方程联立并重排后得到下面的方程组：

图4

行化简相应的增广矩阵得到：

图5

该网络的车流量为：

图6

【衍生问题】

负流量代表什么？

答：网络分支中的一个负流量，对应于模型中显示方向相反的流量。

问什么不用编程求解方程组？

答：此方程系数矩阵是奇异矩阵，运行代码会报错。

【python代码展示】

# 导入所需包
from scipy import linalg
import numpy as np# 线性方程组求解# x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 800
# x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 300
# x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 500
# x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 600
# x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 400# A表示系数矩阵A = np.array([[1, 1, 0, 0, 0],[0, 1, -1, 1, 0],[0, 0, 0, 1, 1, ],[1, 0, 0, 0, 1],[0, 0, 1, 0, 0]])# b表示常数列b = np.array([800, 300, 500, 600, 400])
x = linalg.solve(A, b)
print(x)

【模型总结】

由于本问题中的道路的单行线，因此这里不允许有负值变量。

该模型仅用于解决单行线问题，在实际中应用范围窄。