基底基底基底
称(L,∗,+,¬,0,1)是布尔代数，n维布尔代数中e1,……,en是L得一组基地，若∀a∈L,a=k1e1+k2e2+……+knen(其中ki为代数系统中得0元或1元)称(L,*,+,\neg,0,1)是布尔代数，n维布尔代数中e_1,……,e_n是L得一组基地，若\\ \forall a \in L,a=k_1 e_1+k_2 e_2+……+k_n e_n(其中k_i为代数系统中得0元或1元)称(L,∗,+,¬,0,1)是布尔代数，n维布尔代数中e1,……,en是L得一组基地，若∀a∈L,a=k1e1+k2e2+……+knen(其中ki为代数系统中得0元或1元)

例:设S30是30的所有正因数做成的集合。对任意a,b∈S30规定运算a+b为a、b的最小公倍数a∗b为a、b的最大公约数。则(S30,∗，+,1,30)是布尔代数，1是其最小元素，30是其最大元素。该布尔代数的基底为2,3,5:1=(1∗2)+(1∗3)+(1∗5)，2=(30∗2)+(1∗3)+(1∗5)，3=(1∗2)+(30∗3)+(1∗5),5=(1∗2)+(1∗3)+(30∗5)，6=(30∗2)+(30∗3)+(1∗5),10=(30∗2)+(1∗3)+(30∗5)15=(1∗2)+(30∗3)+(30∗5)，30=(30∗2)+(30∗3)+(30∗5)例: 设S_{30}是30的所有正因数做成的集合。对任意a, b∈S_{30}\\ 规定运算a+b为a、b的最小公倍数 a*b为a、b的最大公约数。\\ 则(S_{30},*，+, 1, 30)是布尔代数，1是其最小元素，30是其最大元素。\\ 该布尔代数的基底为2, 3,5:\\ 1=(1*2)+(1*3)+(1*5)， 2=(30*2)+(1*3)+(1*5)， 3=(1*2)+(30*3)+(1*5), 5=(1*2)+(1*3)+(30*5)， 6=(30*2)+(30*3)+(1*5), 10=(30*2)+(1*3)+(30*5) 15=(1*2)+(30*3)+(30*5)， 30=(30*2)+(30*3)+(30*5) 例:设S30是30的所有正因数做成的集合。对任意a,b∈S30规定运算a+b为a、b的最小公倍数a∗b为a、b的最大公约数。则(S30,∗，+,1,30)是布尔代数，1是其最小元素，30是其最大元素。该布尔代数的基底为2,3,5:1=(1∗2)+(1∗3)+(1∗5)，2=(30∗2)+(1∗3)+(1∗5)，3=(1∗2)+(30∗3)+(1∗5),5=(1∗2)+(1∗3)+(30∗5)，6=(30∗2)+(30∗3)+(1∗5),10=(30∗2)+(1∗3)+(30∗5)15=(1∗2)+(30∗3)+(30∗5)，30=(30∗2)+(30∗3)+(30∗5)

原子（极小元）：哈斯图中盖住0的所有元素原子（极小元）：哈斯图中盖住0的所有元素原子（极小元）：哈斯图中盖住0的所有元素
有限布尔代数得基底必是此代数得所有极小元素，反之亦成立有限布尔代数得基底必是此代数得所有极小元素，反之亦成立有限布尔代数得基底必是此代数得所有极小元素，反之亦成立
性质1：e1+e2+……+en=1性质2：有限布尔代数得基底唯一性质1：e_1+e_2+……+e_n=1\\ 性质2：有限布尔代数得基底唯一性质1：e1+e2+……+en=1性质2：有限布尔代数得基底唯一

由集合生成得布尔代数

对于一个布尔代数(L,∗,+,¬,0,1),s1,s2,si为L中得元素集合S中得元素为∑x1∗…∗xi，xi或为si或为siˉ∣可证(S,∗,+,¬,0,1)为布尔代数，称为由{s1,s2,…si}生成得布尔代数对于一个布尔代数(L,*,+,\neg,0,1),s_1,s_2,s_i为L中得元素\\ 集合S中得元素为\sum x_{1}*…*x_{i}，x_{i}或为s_i或为\bar {s_i}|\\ 可证(S,*,+,\neg,0,1)为布尔代数，称为由\{s_1,s_2,…s_i\}生成得布尔代数对于一个布尔代数(L,∗,+,¬,0,1),s1,s2,si为L中得元素集合S中得元素为∑x1∗…∗xi，xi或为si或为siˉ∣可证(S,∗,+,¬,0,1)为布尔代数，称为由{s1,s2,…si}生成得布尔代数
例:(S30,∗,+,¬,0,1)中由{2,6}生成得布尔代数为(S30,∗,+,¬,0,1)由{1,30}生成得布尔代数为({1,30},∗,+,¬,0,1)由{2}生成得布尔代数为({1,2,15,30},∗,+,¬,0,1)例:(S_{30},*,+,\neg,0,1)中\\ 由\{2,6\}生成得布尔代数为(S_{30},*,+,\neg,0,1)\\ 由\{1,30\}生成得布尔代数为(\{1,30\},*,+,\neg,0,1)\\ 由\{2\}生成得布尔代数为(\{1,2,15,30\},*,+,\neg,0,1)\\ 例:(S30,∗,+,¬,0,1)中由{2,6}生成得布尔代数为(S30,∗,+,¬,0,1)由{1,30}生成得布尔代数为({1,30},∗,+,¬,0,1)由{2}生成得布尔代数为({1,2,15,30},∗,+,¬,0,1)

[Stone定理]:任意有限布尔代数<B,∨,∧,−>,M是所有原子构成的集合，则<B,∨,∧,−>与<P(M),∪,∩,～>同构[Stone定理]:任意有限布尔代数<B,∨,∧,->,M是所有原子构成的集合，则<B,∨,∧,->与<P(M),\cup,\cap,～>同构[Stone定理]:任意有限布尔代数<B,∨,∧,−>,M是所有原子构成的集合，则<B,∨,∧,−>与<P(M),∪,∩,～>同构

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