卡塔兰(Catalan)数

1.定义

2.性质

(1)

(2)

(3)

(4)

3.应用

(1)长度为2n的dyck word的个数。dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。

假设存在一个最小的k，使得前(2k+1)位中有k个X，(k+1)个Y。因为k是最小的，所以第(2k+1)位是Y。我们将前(2k+1)项中的X变为Y，Y变为X,那么就得到一个有(n+1)个X和(n-1)个Y的序列了，反之亦然。此即为性质(1)。

(2)在n个+1和n个-1组成的序列中，前k项和满足a1+a2+...+ak>=0,1<=k<=2n的序列个数。

假设存在一个最小的k，使得a1+a2+...+ak<0。因为k是最小的，所以a1+a2+...+ak-1=0，ak=-1，并且k是一个奇数。我们将前k项中的+1变为-1，-1变为+1,那么就得到一个有(n+1)个+1和(n-1)个-1的序列了，反之亦然。此即为性质(1)。

(3)包含n组括号的合法运算式的个数。

X表示左括号，Y表示右括号。

(4)n个节点组成不同构二叉树的方案数。

考虑根节点，左子树有i个节点，右子树有(n-1-i)个节点。

(5)(2n+1)个节点组成不同构满二叉树(没有度为1的节点)的方案数 or 拥有(n+1)个叶子节点的满二叉树的数量。

将n个节点组成的二叉树中度为0/1的节点添加2/1个孩子(叶子节点),形成一颗满二叉树。

(6)在n*n格点中不越过对角线的单调路径的个数。

X表示向右，Y表示向上。

(7)凸(n+2)边形三角划分个数。

考虑一条边及以它为底的三角形，假设该三角形左边是i边形，那么右边是(n+1-i)边形。

(8)数字1,2,...,2n被放置在一个2*n的矩形中并保证每行每列的数字升序排列的方案数。

解法一：X表示放在第一行，Y表示放在第二行。

解法二：杨氏矩阵

勾长公式：

(9)用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。

考虑一个长方形填充第1到(i+1)列，它的右边是一个高度为i的阶梯状图形，下面是一个高度为(n-1-i)的阶梯状图形。

(10)出栈次序。

X表示入栈，Y表示出栈。

(11)将圆上的2n个点成对连接起来所得到的n条线段不相交的方法数。

考虑一条线段，它的左边是圆上的2i个点，右边是圆上的2(n-1-i)个点。

(12)(n+1)个数相乘，所有的括号方案数。

考虑左右两段乘积，左边为i个数的乘积，右边为(n-i)个数的乘积。

4.扩展

(1)n+m个人排队买票，并且满足n>=m，票价为50元，其中n个人手持一张50元钞票，m个人手持一张100元钞票，除此之外大家身上没有任何其他的钱币，并且初始时候售票窗口没有钱，问有多少种排队数能够让大家都买到票。

假设存在一个最小的k，使得前(2k+1)位中有k个50，(k+1)个100。因为k是最小的，所以第(2k+1)位是100。我们将前(2k+1)项中的50变为100，100变为50,那么就得到一个有(n+1)个50和(m-1)个100的序列了，反之亦然。

5.题目

(1)HDU4165

解法一：动态规划

#include<iostream>
using namespace std;
const int n=10;int g(int f[][n+1],int i,int j)
{if(j>=0)return f[i][j];else return 0;
}int pills(int f[][n+1])
{int i,j;for(j=0;j<=n;j++)f[0][j]=1;for(i=1;i<=n;i++){for(j=0;j<=n-i;j++)f[i][j]=g(f,i-1,j+1)+g(f,i,j-1);}return f[n][0];
}int main()
{int f[n+1][n+1];cout<<pills(f)<<endl;return 0;
}

解法二：

X代表整片，Y代表半片。

(2)阿里巴巴笔试题：16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

C8=1430，总数=1430*8!*8!。

(3)腾讯笔试题：在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数。

C3=5，总数=5*3!*3!。

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