泛函分析基础-如何证明l^∞是完备的度量空间

证明：设{ $x_{m}$ }是 $l^{\infty }$ 中的柯西点列，其中 $x_{m}$ ={ $\xi _{1}^{(m)},\xi _{2}^{(m)},...$ }

由柯西列的定义：对 $\forall\varepsilon >0$ ， $\exists$ 正整数N，当n，m>N时，

$d(x_{m},x_{n}) = sup_{j}|\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}^{(n)}| < \varepsilon---------- (1)$

因此，对每一个固定的j，当n,m > N时，成立

$|\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}^{(n)}| < \varepsilon-----------------(2)$

这就是说，数列 $\xi _{j}^{(k)}, k = 1,2,...$ 是柯西点列（注意此处是指 $(\xi _{j}^{n})_{n=1}^{\infty }$ 是R中的Cauchy列），因此，

由R的完备性： $\exists$ 数 $\xi$ ，使得 $\xi _{j}^{(n)}\rightarrow \xi _{j} (n\rightarrow \infty )$

令 $x=(\xi _{1},\xi _{2},...)$ ，下面证明 $x\in I^{\infty }$ ，且 $x_{m}\rightarrow x(m\rightarrow \infty )$

(注：若对 $\forall\varepsilon >0$ ， $\exists$ 正整数N，当n，m>N时， $d(x_{m},x_{n})< \varepsilon$ )

在（2）式中，令 $n\rightarrow \infty$ ，可以得到：

对一切m > N，成立 $|\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}| \leqslant \varepsilon-----------(3)$ （因为有了极限才可以取极限）

又 $\because$ $x_{m}=(\xi _{1}^{(m)},\xi _{2}^{(m)},...)$ ，因此 $\exists$ 实数 $K_{m}$ ，使得对于所有j，成立 $|\xi _{j}^{(m)}|\leqslant K_{m}$

因此， $|\xi _{j}|\leqslant |\xi _{j} - \xi _{j}^{(m)}|+|\xi _{j}^{(m)}|\leqslant \xi + K_{m}$

这就证明了 $x\in I^{\infty }$ (有界)，由（3）式，可知对一切的m > N，成立：

$d(x_{m},x) = sup_{j}|\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}| \leq \varepsilon$

$\therefore$ $x_{m}\rightarrow x(m\rightarrow \infty )$ 因此 $l^{\infty }$ 是完备度量空间，证毕。

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