泛函分析 02.02 赋范空间-完备的赋范空间

§2.2完备的赋范空间 \color{blue}{\S 2.2 完备的赋范空间}

赋范空间是一类重要的空间,这类空间在泛函分析的理论赋范空间是一类重要的空间,这类空间在泛函分析的理论
及其应用中都是十分重要的. 及其应用中都是十分重要的.
第一节中第一节中
我们通过在线性空间中引入范数,定义了赋范空间. 我们通过在线性空间中引入范数, 定义了赋范空间.
给出了一般线性空间中元素“长度”的定义.建立了空间的拓扑结构. 给出了一般线性空间中元素“长度”的定义.建立了空间的拓扑结构.
由于范数可以诱导距离,从而赋范空间也是距离空间, 由于范数可以诱导距离, 从而赋范空间也是距离空间,
第一章讨论的有关距离空间的概念、性质(如完备性、可分性、第一章讨论的有关距离空间的概念、性质(如完备性、可分性、
紧性等)都可以在赋范空间中加以讨论. 紧性等)都可以在赋范空间中加以讨论.
这一节中，我们重点讨论完备的赋范空间. 这一节中，我们重点讨论完备的赋范空间.

2.2.1连续函数上定义的不同范数 \color{blue}{2.2.1 连续函数上定义的不同范数}

例2.2.1C[a,b].闭区间[a,b]上的全体连续函数,对加法、例2.2.1 C[a, b]. 闭区间[a, b]上的全体连续函数, 对加法、
数乘封闭,是一个线性空间.定义: 数乘封闭,是一个线性空间. 定义:
∥x∥=max a≤t≤b |x(t)| \qquad \Vert x \Vert = \max \limits_{a \leq t \leq b} | x(t) |
则C[a,b]是一个完备的可分的赋范空间. 则C[a, b]是一个完备的可分的赋范空间.
(参见例1.1.5、例1.3.19、例1.4.11) (参见例1.1.5、例1.3.19、例1.4.11)
类似地可以考虑C(Ω),其中Ω⊂R n ,是列紧的闭集. 类似地可以考虑C(\Omega), 其中\Omega \subset \mathbb{R}^n, 是列紧的闭集.
即:C(Ω)为Ω上定义的全体连续函数,其上的范数定义为即: C(\Omega)为\Omega上定义的全体连续函数, 其上的范数定义为
∥x∥=max t∈Ω |x(t)| \qquad \Vert x \Vert = \max \limits_{t \in \Omega} |x(t)|
可以证明C(Ω)是完备的,可分的赋范空间. 可以证明C(\Omega)是完备的, 可分的赋范空间.

例2.2.2设X表示[a,b]上的全体连续函数,在X上定义例2.2.2 设X表示[a, b]上的全体连续函数, 在X上定义
∥x∥ 1 =∫ b a |x(t)|dt(2.2.1) \qquad \Vert x \Vert _1 = \int_a^b |x(t)| dt \quad (2.2.1)
利用积分的线性性质和绝对值的三角不等式,可以证明利用积分的线性性质和绝对值的三角不等式, 可以证明
∥⋅∥ 1 是一个范数,即(X,∥⋅∥ 1 )是一个赋范空间. \Vert \cdot \Vert_1是一个范数, 即(X, \Vert \cdot \Vert_1)是一个赋范空间.
但在由此范数诱导的距离但在由此范数诱导的距离
d(x,y)=∥x−y∥ 1 =∫ b a |x(t)−y(t)|dt(2.2.2) \qquad d(x, y) = \Vert x - y \Vert _1 = \int_a^b |x(t) - y(t)| dt \quad (2.2.2)
下是不完备的(见例(1.4.14)). 下是不完备的(见例(1.4.14)).
因而赋范空间(X,∥⋅∥ 1 )是不完备的. 因而赋范空间(X, \Vert \cdot \Vert_1)是不完备的.
同样可以证明在[a,b]上的全体连续函数组成的线性空间中,赋以范数: 同样可以证明在[a, b]上的全体连续函数组成的线性空间中, 赋以范数:
∥x∥ 2 =[∫ b a |x(t)| 2 dt] 12 (2.2.3) \qquad \Vert x \Vert _2 = [\int_a^b |x(t)|^2 dt ] ^{\frac{1}{2}} \quad (2.2.3)
形成的赋范空间也是不完备的. 形成的赋范空间也是不完备的.
注:上述例子说明,同一个集合上赋以不同的范数,生成空间的完备性可能不一样. 注:上述例子说明, 同一个集合上赋以不同的范数,生成空间的完备性可能不一样.

2.2.2赋范空间的完备化 \color{blue}{2.2.2 赋范空间的完备化}

赋范空间中有了距离就可以考虑空间的完备性,有了完备性, 赋范空间中有了距离就可以考虑空间的完备性,有了完备性,
极限运算(微积分)才能很好的进行. 极限运算(微积分)才能很好的进行.
任何一个距离空间都可以完备化. 任何一个距离空间都可以完备化.
赋范空间是距离空间,因而任何赋范空间都可以完备化. 赋范空间是距离空间, 因而任何赋范空间都可以完备化.

定理2.2.3赋范空间可以完备化. \color{blue}{定理2.2.3 赋范空间可以完备化.}

分析：根据距离空间可以完备化来证明赋范空间可以完备化. 分析：根据距离空间可以完备化来证明赋范空间可以完备化.
证明大意:对于不完备的赋范空间X,作为距离空间可以完备化,称为X ˜ . 证明大意: 对于不完备的赋范空间X, 作为距离空间可以完备化, 称为\widetilde X.
(注意:X ˜ 现在是一个距离空间) (注意: \widetilde X 现在是一个距离空间)
设x ˜ ,y ˜ ∈X ˜ ,x ˜ ={x n },y ˜ ={y n }是X中的Cauchy列, 设\widetilde x, \widetilde y \in \widetilde X, \widetilde x = \lbrace x_n \rbrace, \widetilde y = \lbrace y_n \rbrace 是X中的Cauchy列,
在X ˜ 中定义线性运算和范数在\widetilde X 中定义线性运算和范数
x ˜ +y ˜ ={x n +y n },αx ˜ ={αx n }(2.2.4) \qquad \widetilde x + \widetilde y = \lbrace x_n + y_n \rbrace, \alpha \widetilde x = \lbrace \alpha x_n \rbrace \quad (2.2.4)
∥x ˜ ∥=lim n→∞ ∥x n ∥(2.2.5) \qquad \Vert \widetilde x \Vert = \lim \limits_{n \to \infty} \Vert x_n \Vert \quad (2.2.5)
则X ˜ 是Banach空间, 则\widetilde X 是 Banach 空间,
并且X与X ˜ 的稠密子集等距同构.即赋范空间X可以完备化. 并且 X 与 \widetilde X 的稠密子集等距同构. 即赋范空间X可以完备化.
完备化以后的空间,填补了原来的“缝隙”，空间中的元素完备化以后的空间, 填补了原来的“缝隙”，空间中的元素
增加了,使得所有的Cauchy列都收敛. 增加了, 使得所有的 Cauchy 列都收敛.
注:上例X表示[a,b]上的全体连续函数,在X上定义注: 上例X表示[a, b]上的全体连续函数, 在X上定义
∥x∥ 1 =∫ b a |x(t)|dt \qquad \Vert x \Vert _1 = \int_a^b |x(t)| dt
(X,∥⋅∥ 1 )不是Banach空间,它可以完备化. (X, \Vert \cdot \Vert_1)不是Banach空间, 它可以完备化.
完备化空间为: 完备化空间为:
(X ˜ ,∥⋅∥ 1 )={在[a,b]上绝对可积的函数} \qquad (\widetilde X, \Vert \cdot \Vert_1) = \lbrace 在[a, b]上绝对可积的函数\rbrace
={x(t)|∫ b a |x(t)|dt<∞} \qquad = \lbrace x(t) |\int_a^b |x(t)| dt
可以看到这个新的空间中的元素比C[a,b]中的元素增加了, 可以看到这个新的空间中的元素比C[a, b]中的元素增加了,
使得所有的Cauchy列都收敛. 使得所有的Cauchy列都收敛.
问题:全体连续函数组成的线性空间,在范数(2.2.3)下,完备化的空间是什么? 问题: 全体连续函数组成的线性空间, 在范数(2.2.3)下, 完备化的空间是什么?

2.2.3L p 空间 \color{blue}{2.2.3 L^{p}空间}

下面将讨论的主要内容: 下面将讨论的主要内容:
(1)验证L p 空间是赋范空间.建立Ho ¨ lder不等式和Minkowski不等式. (1)验证L^{p}空间是赋范空间.建立 H \ddot{o} lder不等式和 Minkowski 不等式.
(2)讨论了赋范空间L p 的完备性、可分性. (2)讨论了赋范空间L^{p}的完备性、可分性.
(3)p=∞的情形. (3)p=\infty的情形.
(4)研究L p 的离散情形l p ,建立离散情形的Ho ¨ lder不等式和Minkowski不等式. (4) 研究L^{p}的离散情形l^{p}, 建立离散情形的 H \ddot{o} lder不等式和 Minkowski 不等式.

赋范函数空间L p [a,b](1≤p<∞): 赋范函数空间L^{p}[a, b](1 \leq p
定义2.2.4设f(x)是定义在[a,b]区间上的可测函数,1≤p<∞,若定义2.2.4 设f(x)是定义在[a, b]区间上的可测函数, 1 \leq p
|f| p 在[a,b]上可积,称f是p次幂可积的.全体在[a,b]区间上p次幂可积 |f|^{p}在[a, b]上可积,称f是p次幂可积的. 全体在[a, b]区间上p次幂可积
的函数,记为L p [a,b],简称为L p 空间.即的函数,记为L^{p}[a, b], 简称为L^{p}空间.即
L p [a,b]={x(t)|∫ b a |x(t)| p dt<∞}(2.2.6) \qquad L^p[a, b] = \lbrace x(t) | \int_a^b |x(t)|^p dt
在L p [a,b]中,引入范数: 在L^p[a, b]中, 引入范数:
∥x∥=(∫ b a |x(t)| p dt) 1p  (2.2.7) \qquad \Vert x \Vert = (\int_a^b |x(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}} \quad (2.2.7)
为验证∥⋅∥是L p [a,b]上的范数,需验证以下4条: 为验证\Vert \cdot \Vert 是L^p[a, b]上的范数,需验证以下4条:
(i)∥x∥≥0; (i) \Vert x \Vert \geq 0;
(ii)∥x∥=0当且仅当x(t)=0(a.e); (ii) \Vert x \Vert = 0 当且仅当x(t) = 0 (a.e);
(iii)∥αx∥=|α|∥x∥,即 (iii) \Vert \alpha x \Vert = |\alpha| \Vert x \Vert, 即
(∫ b a |αx(t)| p dt) 1p  =|α|(∫ b a |x(t)| p dt) 1p   \qquad (\int_a^b |\alpha x(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}} = |\alpha|(\int_a^b |x(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}}
(iv)∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,即 (iv) \Vert x + y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert, 即
(∫ b a |x(t)+y(t)| p dt) 1p  ≤(∫ b a |x(t)| p dt) 1p  +(∫ b a |y(t)| p dt) 1p   (\int_a^b |x(t) + y(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}} \leq (\int_a^b |x(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}} + (\int_a^b |y(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}}
其中(i),(ii),(iii)显然,为证明(iv),我们需要Ho ¨ lder不等式和Minkowski不等式. 其中(i),(ii),(iii)显然,为证明(iv), 我们需要 H\ddot{o}lder不等式和Minkowski不等式.

引理2.2.5p,q是正数,且1p +1q =1(p,q称为共轭数), 引理2.2.5 p, q是正数,且\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1(p, q称为共轭数),
则对于∀a,b,有则对于\forall a, b, 有
|ab|≤|a| p p +|b| q q (2.2.8) \qquad |ab| \leq \dfrac{|a|^p}{p} + \dfrac{|b|^q}{q} \quad (2.2.8)
证明:(1)当b=0时不等式显然成立. 证明: (1)当b = 0 时不等式显然成立.
(2)当b≠0时,考虑函数 (2)当b \neq 0 时,考虑函数
ϕ(t)=t 1p  −1p t \qquad \phi(t) = t^{\frac{1}{p}} - \dfrac{1}{p} t
当t=1时,ϕ(t)取到最大值当t = 1时, \phi(t) 取到最大值
ϕ(1)=1−1p =1q  \qquad \phi(1) = 1 - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{q}
用t=|a| p |b| q  代入得用t = \dfrac{|a|^p}{|b|^q}代入得
|a||b| qp   −1p |a| p |b| q  ≤1q , \qquad \dfrac{|a|}{|b|^{\frac{q}{p}}} - \dfrac{1}{p} \dfrac{|a|^p}{|b|^q} \leq \dfrac{1}{q},
两边同乘|b| q ,注意到q−qp =1,整理可得两边同乘|b|^q, 注意到 q - \dfrac{q}{p} = 1, 整理可得
|ab|≤|a| p p +|b| q q  \qquad |ab| \leq \dfrac{|a|^p}{p} + \dfrac{|b|^q}{q}

下面的Ho ¨ lder不等式是为了证明Minkowski不等式做准备的. 下面的H\ddot{o}lder不等式是为了证明 Minkowski 不等式做准备的.
引理2.2.6(Ho ¨ lder不等式)设E是Lebesgue可测集, 引理2.2.6(H\ddot{o}lder不等式)设E是Lebesgue可测集,
x(t),y(t)是E上可测函数,且p和q是共轭数,则 x(t), y(t)是E上可测函数, 且p和q是共轭数, 则
∫ E |x(t)y(t)|dt≤(∫ E |x(t) p dt) 1p  (∫ E |y(t)| q dt) 1q  (2.2.9) \int_E |x(t) y(t)| dt \leq (\int_E |x(t)^p dt)^{\frac{1}{p}}(\int_E|y(t)|^q dt)^{\frac{1}{q}} \quad (2.2.9)
证明:令A=(∫ E |x(t)| p dt) 1p  ,B=(∫ E |y(t)| q dt) 1q   证明:令A = (\int_E |x(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}}, B = (\int_E |y(t)|^q dt)^{\frac{1}{q}}
(1)如果A,B中有一个为0或无穷,下面不等式显然成立(2.2.9) (1)如果A, B中有一个为0或无穷,下面不等式显然成立(2.2.9)
∫ E |x(t)y(t)|dt≤(∫ E |x(t)| p dt) 1p  (∫ E |y(t)| q dt) 1q   \int_E |x(t)y(t)| dt \leq (\int_E |x(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}}(\int_E |y(t)|^{q} dt)^{\frac{1}{q}}
(2)不妨设0<A<∞,0<B<∞. (2)不妨设0 对每个t∈E,由不等式(2.2.8)知: 对每个t \in E, 由不等式(2.2.8)知:
|x(t)y(t)|AB ≤1p |x(t)A | p +1q |y(t)B | q  \qquad \dfrac{|x(t)y(t)|}{AB} \leq \dfrac{1}{p}|\dfrac{x(t)}{A}|^p + \dfrac{1}{q}|\dfrac{y(t)}{B}|^q
上式两边积分得上式两边积分得
1AB ∫ E |x(t)y(t)|dt \qquad \dfrac{1}{AB} \int_E |x(t)y(t)| dt
≤A −p p ∫ E |x(t)| p dt+B −q q ∫ E |y(t)| q dt \qquad \leq \dfrac{A^{-p}}{p}\int_E |x(t)|^p dt + \dfrac{B^{-q}}{q} \int_E |y(t)|^q dt
=1p +1q =1 \qquad = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1
所以所以
∫ E |x(t)y(t)|dt \qquad \int_E |x(t)y(t)| dt
≤AB=(∫ E |x(t)| p dt) 1p  ⋅(∫ E |y(t)| q dt) 1q   \qquad \leq AB = (\int_E |x(t)|^p dt )^{\frac{1}{p}} \cdot (\int_E |y(t)|^q dt )^{\frac{1}{q}}
注:当p=2时,不等式为: 注:当 p = 2时, 不等式为:
∫ E |x(t)y(t)|dt \qquad \int_E |x(t) y(t)| dt
≤(∫ E |x(t)| 2 dt) 12  (∫ E |y(t)| 2 dt) 12  (2.2.10) \qquad \leq (\int_E |x(t)|^2 dt)^{\frac{1}{2}} (\int_E |y(t)|^2 dt)^{\frac{1}{2}} \quad (2.2.10)

定理2.2.8L p (E)(1≤p<∞)是Banach空间. 定理2.2.8 L^p(E)(1 \leq p

证明思路:只要证明它中的任意Cauchy列都收敛.事实证明思路: 只要证明它中的任意 Cauchy 列都收敛. 事实
上只要证明Cauchy列必存在一收敛子列,再证明此收敛上只要证明 Cauchy 列必存在一收敛子列, 再证明此收敛
子列的极限就是该Cauchy列的极限. 子列的极限就是该 Cauchy 列的极限.
证明分以下几步(详细证明见附录III.1): 证明分以下几步(详细证明见附录III.1):
(1)从Cauchy列{x n (t)}中选取一个点点收敛的子列{x n k  (t)},令 (1)从Cauchy列\lbrace x_n(t) \rbrace 中选取一个点点收敛的子列\lbrace x_{n_k}(t) \rbrace, 令
lim k→∞ x n k  (t)=x 0 (t); \qquad \lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k}(t) = x_0(t);
选取的办法是:选取满足条件∥x n k+1  −x n k  ∥<12 k  的子选取的办法是:选取满足条件 \Vert x_{n_{k+1}} - x_{n_k} \Vert
列,由级数的收敛,推出这个函数列点点收敛. 列, 由级数的收敛, 推出这个函数列点点收敛.
(2)证明x 0 (t)∈L p ; (2)证明x_0(t) \in L^p;
(3)证明{x n (t)}按L p 中的范数趋近于x 0 (t). (3)证明\lbrace x_n(t) \rbrace 按L^p中的范数趋近于 x_0(t).

定理2.2.9L p [a,b]是可分的. 定理2.2.9 L^p[a, b]是可分的.
证明思路:只要找到L p [a,b]中的可数稠密子集就可以. 证明思路: 只要找到L^p[a, b]中的可数稠密子集就可以.
我们采取逐步逼近的方式证明:有理系数多项式全体是我们采取逐步逼近的方式证明: 有理系数多项式全体是
L p [a,b]中的可数稠密子集. L^p[a, b]中的可数稠密子集.
(1)对∀ε>0,∀x∈L p [a,b],首先找到连续函数y(t),使得 (1) 对\forall \varepsilon > 0, \forall x \in L^p[a, b], 首先找到连续函数 y(t), 使得
∥x(t)−y(t)∥<ε \qquad \Vert x(t) - y(t) \Vert
(2)进一步可以找到有理系数多项式p(t),使得 (2)进一步可以找到有理系数多项式p(t), 使得
∥y(t)−p(t)∥<ε \qquad \Vert y(t) - p(t) \Vert
于是于是
∥x(t)−p(t)∥<2ε \qquad \Vert x(t) - p(t) \Vert
(3)由于全体有理系数多项式是L p [a,b]中的可数子集, (3) 由于全体有理系数多项式是L^p[a, b]中的可数子集,
所以L p [a,b]可分. 所以L^p[a, b]可分.
证明:(1)i)对于任意x(t)∈L p ,令证明:(1) i)对于任意x(t) \in L^p, 令
x n (t)={x(t),|x(t)|≤n,0,|x(t)|>n (n=1,2,⋯)(2.2.14) x_n(t) = \left \lbrace \begin{array}{l} x(t), |x(t)| \leq n, \\ 0, \quad |x(t)| > n \end{array} \right. (n = 1, 2, \cdots) \quad (2.2.14)
显然,x n (t)∈L p 且|x n (t)|≤n 显然, x_n(t) \in L^p 且 |x_n(t)| \leq n
ii)由于 ii) 由于
n p m{t||x(t)|>n}≤∫ {t||x(t)|>n} |x(t)| p dt n^p m \lbrace t| |x(t)| > n \rbrace \leq \int_{ \lbrace t | |x(t)| > n \rbrace } |x(t)|^p dt
<∫ b a |x(t)| p dt<∞ \qquad
所以m{t||x(t)|>n}→0(n→∞) 所以 m \lbrace t | |x(t)| > n \rbrace \to 0 (n \to \infty)
iii)由积分的绝对连续,我们有 iii) 由积分的绝对连续, 我们有
∥x−x n ∥ p =∫ {t||x(t)|>n} |x(t)| p dt→0(n→∞) \Vert x - x_n \Vert ^p = \int_{\lbrace t | |x(t)| > n \rbrace } |x(t)|^p dt \to 0 (n \to \infty)
即对于∀ε,∃N,当n≥N时,∥x n −x∥<ε 即对于 \forall \varepsilon, \exists N, 当 n \geq N 时, \Vert x_n - x \Vert
(2)对于上面的x N (t),由鲁津定理,存在连续函数y(t), (2) 对于上面的 x_N(t), 由鲁津定理, 存在连续函数y(t),
除去一个可测子集A外, 除去一个可测子集A外,
x N (t)=y(t),|y(t)|≤N, \qquad x_N(t) = y(t), |y(t)| \leq N,
且这个可测子集的测度满足mA<(ε2N ) p .于是且这个可测子集的测度满足 mA
∥x N (t)−y(t)∥=(∫ A |x N (t)−y(t)| p dt) 1p   \Vert x_N(t) - y(t) \Vert = (\int_A |x_N(t) - y(t)|^p dt)^{\frac{1}{p}}
≤(∫ A (|x N (t)|+|y(t)|) p dt) 1p   \qquad \leq (\int_A (|x_N(t)| + |y(t)|)^p dt)^{\frac{1}{p}}
≤(∫ A (2N) p dt) 1p   \qquad \leq (\int_A (2N)^p dt)^{\frac{1}{p}}
=2N(mA) 1p  <ε \qquad = 2N(mA)^{\frac{1}{p}}
(3)对于连续函数y(t),由Weierstrass定理,y(t)可以 (3)对于连续函数y(t), 由Weierstrass 定理, y(t)可以
用有理系数的多项式p(t)一致逼近,即: 用有理系数的多项式p(t)一致逼近, 即:
|y(t)−p(t)|<ε(b−a) 1p   (∀t∈[a,b]) \qquad |y(t) - p(t)|
我们有我们有
∥y(t)−p(t)∥=(∫ b a |y(t)−p(t)| p dt) 1p  <ε \qquad \Vert y(t) - p(t) \Vert = (\int_a^b |y(t) - p(t) |^p dt )^{\frac{1}{p}}
即即
∥x−p∥≤∥x−x N ∥+∥x N −y∥+∥y−p(t)∥<3ε \qquad \Vert x - p \Vert \leq \Vert x - x_N \Vert + \Vert x_N - y \Vert + \Vert y - p(t) \Vert
注:在[a,b]上连续的函数属于L p [a,b],但连续函数的全体在L p 的范数下不完备. 注: 在[a, b]上连续的函数属于L^p[a, b], 但连续函数的全体在L^p的范数下不完备.
但它们是L p [a,b]中的稠子集,也就是说: 但它们是L^p[a, b]中的稠子集, 也就是说:
L p [a,b]是C[a,b]在L p 范数下的完备化空间. L^p[a, b]是C[a, b]在L^p范数下的完备化空间.

2.2.4L ∞ 空间 \color{blue}{2.2.4 L^{\infty}空间}

讨论p=∞的情况. 讨论 p = \infty 的情况.
定义2.2.10设E是可测集,x(t)是E上可测函数.如果存在E的可测子集E 0 ⊂E, 定义2.2.10 设E是可测集, x(t)是E上可测函数.如果存在E的可测子集E_0 \subset E,
mE 0 =0,且x(t)在E∖E 0 上有界,则称x(t)为本性有界. mE_0 = 0, 且x(t) 在 E \setminus E_0 上有界, 则称x(t)为本性有界.

例2.2.11L ∞ (E). 例2.2.11 L^{\infty}(E).
L ∞ (E)表示E上全体本性有界的可测函数,其上定义 L^{\infty}(E)表示E上全体本性有界的可测函数, 其上定义
∥x∥=inf mE 0 =0,E 0 ⊂E sup E∖E 0  |x(t)|(2.2.15) \qquad \Vert x \Vert = \inf \limits_{mE_0 = 0, \\ E_0 \subset E} \sup \limits_{E \setminus E_0} |x(t)| \quad (2.2.15)
注1：上述下确界是可以达到的,即存在E 0 ,使得注1：上述下确界是可以达到的, 即存在E_0, 使得
∥x∥=sup E∖E 0  |x(t)| \qquad \Vert x \Vert = \sup \limits_{E \setminus E_0} |x(t)|
原因：由下确界的定义,对∀1n ,存在E n ⊂E,mE n =0,且原因：由下确界的定义, 对\forall \dfrac{1}{n}, 存在 E_n \subset E, mE_n = 0, 且
sup E∖E n  |x(t)|<∥x∥+1n  \qquad \sup \limits_{E \setminus E_n} |x(t)|
令E 0 =⋃ n=1 ∞ E n ,则E 0 ⊂E,mE 0 =0,且对于∀n, 令 E_0 = \bigcup \limits_{n=1}^{\infty} E_n, 则E_0 \subset E, mE_0 = 0, 且对于 \forall n,
∥x∥≤sup E∖E 0  |x(t)|≤sup E∖E n  |x(t)|≤∥x∥+1n  \qquad \Vert x \Vert \leq \sup \limits_{E \setminus E_0} |x(t)| \leq \sup \limits_{E \setminus E_n} |x(t)| \leq \Vert x \Vert + \dfrac{1}{n}
因此∥x∥=sup E∖E 0  |x(t)|.即因此 \Vert x \Vert = \sup \limits_{E \setminus E_0} |x(t)|. 即
x(t)在E∖E 0 上有界(几乎处处有界). x(t)在 E \setminus E_0 上有界(几乎处处有界).
注2：称∥x∥是x(t)的本性上确界,记为注2：称\Vert x \Vert 是x(t)的本性上确界, 记为
∥x∥=esssup E |x(t)|(2.2.16) \qquad \Vert x \Vert = ess \sup \limits_{E} |x(t)| \quad (2.2.16)
注3：∥x∥是X上的范数. 注3：\Vert x \Vert 是X上的范数.
注4：L ∞ (E)上的收敛性. 注4：L^{\infty}(E)上的收敛性.
x n → d x(n→∞),∥x n −x∥→0(n→∞), \qquad x_n \stackrel{d}{\to} x(n \to \infty), \Vert x_n - x \Vert \to 0(n \to \infty),
即{x n (t)}除去一零测集外,x n (t)一致收敛到x(t). 即\lbrace x_n(t) \rbrace 除去一零测集外, x_n(t)一致收敛到x(t).

定理2.2.12L ∞ (E)是不可分的Banach空间. 定理2.2.12 L^{\infty}(E)是不可分的Banach空间.

命题2.2.13当mE<∞时,如果1≤p 2 <p 1 <∞,则命题2.2.13 当mE
L ∞ (E)⊂L p 1  (E)⊂L p 2  (E)(2.2.17) \qquad L^{\infty}(E) \subset L^{p_1}(E) \subset L^{p_2}(E) \quad (2.2.17)
证明:(i)设x(t)∈L ∞ ,x(t)本性有界,结合mE<∞, 证明:(i)设x(t) \in L^{\infty}, x(t)本性有界, 结合mE
显然有x(t)∈L p 1  (E 1 ),即L ∞ (E)⊂L p 1  (E). 显然有 x(t) \in L^{p_1}(E_1), 即L^{\infty}(E) \subset L^{p_1}(E).
(ii)∀x∈L p 1  (E),令B={t∈E||x(t)|≤1}.则 (ii) \forall x \in L^{p_1}(E), 令 B = \lbrace t \in E | |x(t)| \leq 1 \rbrace. 则
∫ E |x(t)| p 2  dt=∫ B |x(t)| p 2  dt+∫ E∖B |x(t)| p 2  dt \qquad \int_E |x(t)|^{p_2} dt = \int_B |x(t)|^{p_2} dt + \int_{E \setminus B} |x(t)|^{p_2} dt
≤mB+∫ E∖B |x(t)| p 1  dt \qquad \leq m B + \int_{E \setminus B} |x(t)|^{p_1} dt
即x(t)∈L p 2  (E). 即 x(t) \in L^{p_2}(E).
注：由此可证明,对于任意的x(t)∈L ∞ (E),mE<∞, 注：由此可证明, 对于任意的x(t) \in L^{\infty}(E), mE
有∥x∥ p →∥x∥ ∞ .即有 \Vert x \Vert _p \to \Vert x \Vert _{\infty}. 即
lim p→∞ (∫ E |x(t)| p dt) 1p  =∥x∥ ∞ (2.2.18) \qquad \lim \limits_{p \to \infty} (\int_E |x(t)|^p dt )^{\frac{1}{p}} = \Vert x \Vert _{\infty} \quad (2.2.18)
因此也可把L ∞ (E)看作L p (E)的极限情形. 因此也可把L^{\infty}(E)看作L^p(E)的极限情形.

2.2.5l p 空间 \color{blue}{2.2.5 l^p空间}

l p (1≤p<∞)表示全体p次方可和的数列,即 l^p(1 \leq p
l p ={x={ξ k }|∑ k=1 ∞ |ξ k | p <∞}(2.2.19) \qquad l^p = \lbrace x = \lbrace \xi_k \rbrace |\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p
类似地可证明: 类似地可证明:
离散的Ho ¨ lder不等式和Minkowski不等式. 离散的H\ddot{o}lder不等式和Minkowski不等式.

定理2.2.14设{ξ k }∈l p 和{η k }∈l q (这里p,q是正数且1p +1q =1),则定理2.2.14 设\lbrace \xi_k \rbrace \in l^p 和 \lbrace \eta_k \rbrace \in l^q(这里p, q 是正数且\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1), 则
Ho ¨ lder不等式: H\ddot{o}lder不等式:
∑ k=1 ∞ |ξ k η k |≤(∑ k=1 ∞ |ξ k | p ) 1p (∑ k=1 ∞ |η k | q ) 1q \qquad \sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k \eta_k| \leq (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p)^{\frac{1}{p}}(\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\eta_k|^q)^{\frac{1}{q}}
Minkowski不等式: Minkowski不等式:
(∑ k=1 ∞ |ξ k +η k | p ) 1p ≤(∑ k=1 ∞ |ξ k | p ) 1p +(∑ k=1 ∞ |η k | p ) 1p \qquad (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k + \eta_k|^p)^{\frac{1}{p}} \leq (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p)^{\frac{1}{p}} + (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\eta_k|^p)^{\frac{1}{p}}
类似定义l p (1≤p<∞)、l ∞ 赋范空间. 类似定义l^p(1 \leq p
利用离散情形的两个重要不等式,我们类似于L p (E), 利用离散情形的两个重要不等式, 我们类似于L^p(E),
L ∞ (E)空间可以定义赋范空间l p 、l ∞ . L^{\infty}(E)空间可以定义赋范空间l^p、l^{\infty}.

例2.2.15在线性空间l p (1≤p<∞)上赋以范数例2.2.15 在线性空间l^p(1 \leq p
∥x∥ p =(∑ k=1 ∞ |ξ k | p ) 1p (2.2.20) \qquad \Vert x \Vert _p = (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^p)^{\frac{1}{p}} \quad (2.2.20)
则l p 是赋范空间. 则l^p是赋范空间.

例2.2.16设l ∞ 是全体有界的数列,即例2.2.16 设l^{\infty}是全体有界的数列, 即
l ∞ ={x={ξ k }|{ξ k }是有界的数列}(2.2.21) \qquad l^{\infty} = \lbrace x = \lbrace \xi_k \rbrace | \lbrace \xi_k \rbrace 是有界的数列 \rbrace \quad (2.2.21)
在其上赋以范数在其上赋以范数
∥x∥ ∞ =sup k |ξ k |(2.2.22) \qquad \Vert x \Vert _{\infty} = \sup \limits_{k} |\xi_k| \quad (2.2.22)
则l ∞ 是赋范空间. 则 l^{\infty} 是赋范空间.
注:l p (1≤p<∞)是一个可分的Banach空间. 注: l^p (1 \leq p
l ∞ 是不可分的Banach空间. l^{\infty}是不可分的 Banach 空间.
特别的,对于p=2,在L 2 空间上定义: 特别的, 对于 p = 2, 在 L^2 空间上定义:
∥x∥ 2 =(∫ b a |x(t)| 2 dt) 12  (2.2.23) \qquad \Vert x \Vert_2 = (\int_a^b |x(t)|^2 dt)^{\frac{1}{2}} \quad (2.2.23)
则∥x∥ 2 是一个范数.由这个范数诱导出的距离是: 则 \Vert x \Vert _2 是一个范数. 由这个范数诱导出的距离是:
d 2 (x,y)={∫ b a |x(t)−y(t)| 2 dt} 12  (2.2.24) \qquad d_2(x, y) = \lbrace \int_a^b |x(t) - y(t) |^2 dt \rbrace ^{\frac{1}{2}} \quad (2.2.24)
L 2 是一个完备、可分的赋范(距离)空间. L^2 是一个完备、可分的赋范(距离)空间.
相似地,在离散的l 2 空间,其范数为: 相似地, 在离散的l^2空间, 其范数为:
∥x∥ 2 =(∑ k=1 ∞ |ξ k | 2 ) 12  (2.2.25) \qquad \Vert x \Vert _2 = (\sum \limits_{k=1}^{\infty} |\xi_k|^2)^{\frac{1}{2}} \quad (2.2.25)
l 2 是一个完备、可分的赋范(距离)空间. l^2 是一个完备、可分的赋范(距离)空间.
进一步地,我们以后会看到:它们是内积空间. 进一步地, 我们以后会看到:它们是内积空间.