最小割与最大流（mincut maxflow）

这里先介绍mincut和maxflow,为介绍Grabcut打下基础。Grabcut可以用在图像分割和文字二值化中。

1 首先介绍Mincut问题。

这部分内容主要翻译自[1],可以看原版理解的更深.由于个人没有看过中文教材，因此可能一些专业术语翻译的不太对，敬请见谅。

一个有向图，并有一个源顶点（source vertex）和目标顶点（target vertex）.边的权值为正,又称之为容量（capacity）.如下图

一个st-cut(简称割cut)会把有向图的顶点分成两个不相交的集合，其中s在一个集合中，t在另外一个集合中（在图像分割中，你可以将s理解成前景，t理解成背景）。

这个割的容量（capacity of the cut）就是A到B所有边的容量和。注意这里不包含B到A的。参见下面几幅图。最小割问题就是要找到割容量最小的情况。

可以想象成某某国家要控制网络，使得国民不能跟外面联络，S代表某个国家，t代表其余的世界。而每条边上代表着是带宽，带宽越大，肯定建设成本也越大，在进行cut的时候当然希望能达到完全断开的效果但又能破坏越少的基建设施,这就是最小割问题。

2 Maxflow

接着介绍maxflow问题。跟mincut问题类似，maxflow要处理的情况也是一个有向图，并有一个原顶点（source vertex）和目标（target vertex）.边的权值为正,又称之为容量（capacity）.如下图

一个st-flow(简称flow)是为每条边附一个值，这个值需要满足两个条件

1 0<=边的flow <<边的capacity

2 除了s和t外，每个顶点的inflow要等于outflow

见下图，其实这个很好理解，可以想象成水管或者电流。

一个flow的值（value of the flow）就是t的inflow.Maxflow就是找到这个最大值。

后面会发现Mincut和maxflow的问题是对偶的，解出了maxflow也就知道了mincut的解。

现在先介绍一种解maxflow的算法Ford-Fulkerson,为了方便，简称FF算法。

（1）初始化，所有边的flow都初始化为0

（2）沿着增广路径增加flow。增广路径是一条从s到t的无向路径，但也有些条件，可以经过没有满容量的前向路径（s到t）或者是不为空的反向路径(t->s)

opencv用的是文献[2]的算法。这里先不做介绍。

3 maxflow-mincut理论证明对偶性（optional）

首先定义一个概念net flow,经过一个割cut(A,B)的net flow等于从A到B的边flow的和减去从B到A边flow的和。

然后我们就有了flow-value引理：f为任意的流，(A,B)为任意的割，那么f的值 value of flow（也就是t的inflow）等于经过（A,B）的netflow.

如下图，value offlow = 8+9+10 = 27 , 而割的net flow = 8+2+7-2+12 = 27.要证明这个引理可以用数学归纳法。

Weak duality(弱对偶)：f为任意的流，（A，B）为任意的割，那么Valueof flow <= capacity of cut(A,B)

因为cut(A,B)等于从A到B流量，而value offlow等于cut（A，B）的netflow,还得减去从B到A边的流量。

那么现在我们可以引出两个定理：

增广路径定理（Augmenting Path theorem）:一个流f是最大流当且仅当没有增广路径。

最小割最大流定理（Maxflow-mincut theorem）:Maxflow的值等于最小割的容量。

要证明上面的定理，只要证明下面三个条件是等价的就可以了：

（1）存在一个割的容量等于flow f的值

（2）f是最大流

（3）对于f没有增广路径

首先我们证明（1）->（2）。假设我们有一个割（A,B）的容量等于f的值，那么利用弱对偶的关系，其他流的值<=(A,B)的容量，而由于1的假设，（A，B）的容量等于f的值，因此得到其他流的值都小于f的值，从而（2）成立

接着证明（2）->(3)。我们来证明它的逆否命题。对于f如果还有还有增广路径，那f不是最大流，这很显然，如果按照FF算法的话，我们还可以增加flow f的值，因此f就不会是最大流，因此逆否命题成立，也就代表（2）->(3)成立。

最后证明从（3）->(1)。让割（A,B）满足这么一个条件：s在A中，且A中的顶点通过一些无向的边连接而成，这些边要么是不是满的前向边要么是非空的反向边。如下图中加粗的边。

那么根据定义，s在A中，由于没有增广路径，因此t在B中。

由于这个割的B到A的边流量全是0，

这个割的容量 = 沿着这个割的netflow(从A到B边的流量-从B到A边的流量)

又根据flow-value引理，netflow = value of low,因此推出（1）.

最后我们怎么根据最大流的解得到最小割的解呢，就是和证明（3）->(1)中的一样让割（A,B）满足这么一个条件：s在A中，且A中的顶点通过一些无向的边连接而成，这些边要么是不是满的前向边要么是非空的反向边

[1]PrincetonUniversity - Algorithm: https://class.coursera.org/algs4partII-006/lecture/22

[2]An Experimental Comparison of Min-Cut/Max-Flow Algorithms for Energy Minimization in Vision

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