图论（十）最小生成树-Prim算法

前面说过，Prim算法是从顶点着手构建最小生成树的。应该说，Prim算法比Kruskal更简单。我们还是以前面的乡镇假设光纤网络为例：

Prim算法工作步骤

（1） 构建全部顶点集V，选取初始顶点，加入顶点集U。

构建顶点集V={a,b,c,d,e,f,g,h,i}，从中选取任意一个顶点。我们假设从顶点a开始。将a加入到顶点集U={a}中。

（2） 找U中顶点与V-U中顶点的所有边。

U中顶点只有a，V-U={b,c,d,e,f,g,h,i}，则U中顶点与V-U中顶点的所有边为a-b和a-f，图中紫色边。U中顶点为绿色背景顶点，V-U中顶点为黑色背景顶点。

（3） 选取所有边中的最短边加入最小生成树。

所有边a-b和a-f中的最短边a-b，将其加入最小生成树（图中绿色边）。

（4） 将最短边另一头的顶点，加入顶点集合U。

最短边a-b的另一头顶点为b，将b加入到U={a,b}。

（5） 继续找U中顶点与V-U中顶点的所有边。

此时，U={a,b}，V-U={c,d,e,f,g,h,i}，则U与V-U中顶点所有边为a-f， b-c， b-g，b-h。图中紫色边所示。

（6） 继续选取最短边，将最短边加入最小生成树，并将最短边另一头顶点加入U。

此时最短边为a-f，将最短边加入最小生成树，并将最短边顶点f加入U={a,b,f}。此时V-U={c,d,e,g,h,i}。

（7） 如此循环反复，直至U=V。

下面是按顺序的U和V-U以及最小生成树的变化过程：

U={a,b,f,g};V-U={c,d,e,h,i} U={a,b,f,g,h};V-U={c,d,e,i}

U={a,b,c,f,g,h};V-U={d,e,i} U={a,b,c,f,g,h,i};V-U={d,e}

U={a,b,c,e,f,g,h,i};V-U={d} U={a,b,c,d,e,f,g,h,i};V-U={}

为什么不会构成环

因为我们在寻找边时，只是找U与V-U中顶点所构成的边，而U中内部顶点的边是不会找的。找到最短边后，直接将另一头顶点加入U了，也就是说这两个顶点都在U中了，即使这2个顶点还有其他路径，后面都不会再找，也就不会构成回路了。

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