傅里叶（Fourier）展开

傅里叶级数的定义如下：

设函数f(x)f(x)f(x)在区间[0,2π][0,2\pi][0,2π]上绝对可积，令
{an=1π∫02πf(x)cos⁡nxdx(n=0,1,2,⋯)bn=1π∫02πf(x)sin⁡nxdx(n=1,2,⋯)\left\{\begin{array}{ll} a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \cos n x \mathrm{~d} x & (n=0,1,2, \cdots) \\ b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x & (n=1,2, \cdots) \end{array}\right. {an=π1∫02πf(x)cosnx dxbn=π1∫02πf(x)sinnx dx(n=0,1,2,⋯)(n=1,2,⋯)
以an,bna_n,b_nan,bn为系数作三角级数
a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx) 2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
称为f(x)f(x)f(x)的傅里叶级数，an,bna_n,b_nan,bn称为傅里叶系数。

具体的傅里叶级数推导过程可以参考下面这篇文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

根据定义可以编写计算傅里叶系数的函数：

function [a0,an,bn] = Fourierzpi(f)
%本函数旨在计算[0,2pi]上的傅里叶系数
syms x n
a0 = int(f,0,2*pi)/pi;
an = int(f*cos(n*x),0,2*pi)/pi;
bn = int(f*sin(n*x),0,2*pi)/pi;
end

利用该函数计算sinx+exx2\frac{sinx+e^x}{x^2}x2sinx+ex在[0,2pi]上的傅里叶系数

syms x
f = (sin(x)+exp(x))/x^2;
[a0,an,bn] = Fourierzpi(f)a0 =Infan =int((cos(n*x)*(exp(x) + sin(x)))/x^2, x, 0, 2*pi)/pibn =int((sin(n*x)*(exp(x) + sin(x)))/x^2, x, 0, 2*pi)/pi

如果想要计算不同区间的傅里叶变化，只需要改变函数中范围，这样就可以计算不同区间，不同函数的傅里叶系数。

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