天使的分裂【NOIP2016提高A组模拟9.24】

题目

Input

一个整数n

Output

一行，一个整数，表示第0天到第n天的评估函数的值的和。

Sample Input

Input 1
5

Input 2
666666

Input 3
2147483648

Sample Output

Output 1
76

Output 2
324016098

Output 3
932937567

数据范围：

剖解题目

。。。。。

思路

一般看上去这么复杂的，肯定是递推之类的，然后对于最大的数据肯定是有快速的虽然之类的。

解法

40%：暴力
60%：预处理斐波那契数列，使用NTT计算卷积。时间复杂度Ο(nlog2 n)。
70%：可以推出F[i]=F[i-1]+F[i-2]+f[i]。时间O(n)。
100%：矩阵乘法优化：
设一个5*5的矩阵，根据矩阵乘法性质直接快速幂，然后乘一个初始的1 *5的矩阵即可。
时间O(log2 n).

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define ll long longusing namespace std;const ll mo=998244353;
ll n,a[5]={1,1,2,1,3},ans[5];
ll sq[5][5]={0,1,1,0,1,1,1,1,0,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1};
ll t[5][5]={1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1};void cc1()
{ll now[5][5];memset(now,0,sizeof(now));fo(i,0,4)fo(j,0,4)fo(k,0,4) now[i][j]=((t[i][k]*sq[k][j])%mo+now[i][j])%mo;memcpy(t,now,sizeof(now));
}
void cc2()
{ll now[5][5]; memset(now,0,sizeof(now));fo(i,0,4)fo(j,0,4)fo(k,0,4) now[i][j]=((sq[i][k]*sq[k][j])%mo+now[i][j])%mo;memcpy(sq,now,sizeof(now));
}
void qsm(ll n)
{while (n){if (n&1) cc1();cc2();n>>=1;}}
int main()
{scanf("%lld",&n);if (!n) {printf("1"); return 0; }qsm(n-1);fo(j,0,4)fo(k,0,4) ans[j]=((a[k]*t[k][j])%mo+ans[j])%mo;printf("%lld",ans[4]);
}

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