jzoj 5814. 【NOIP提高A组模拟2018.8.14】树 dp+lca

Description

梦游中的你来到了一棵 N 个节点的树上. 你一共做了 Q 个梦, 每个梦需要你从点 u 走到点 v 之后才能苏醒, 由于你正在梦游, 所以每到一个节点后,你会在它连出去的边中等概率地选择一条走过去, 为了确保第二天能够准时到校, 你要求出每个梦期望经过多少条边才能苏醒. 为了避免精度误差, 你要输出答案模10^9 + 7的结果.

Input

第一行两个整数分别代表 N 和 Q. 接下来 N-1 行, 每行两个整数 u, v 代表树中的一条边. 接下来 Q 行, 每行两个整数代表询问的 u,v.

Output

一共 Q 行, 每行一个整数代表答案

Sample Input

4 2
1 2
2 3
3 4
1 4
3 4

Sample Output

9
5

Data Constraint

对于 20%的数据, N <= 10.
对于 40%的数据, N <= 1000.
另有 20%的数据, 保证给定的树是一条链.
对于 100%的数据, N <= 100000, Q <= 100000.

Hint

分析：
又是随机游走，一开始真的不会……
然后好多人A了，仔细一看发现是水题。
设f[i]f[i]f[i]为从iii走到iii的父亲的期望步数，g[i]g[i]g[i]为从iii的父亲走的iii的期望步数，deg[i]deg[i]deg[i]为iii的步数，显然有
f[i]=1deg[i]+∑j∈son[i](f[j]+f[i]+1)deg[i]f[i]=\frac{1}{deg[i]}+\frac{\sum_{j\in son[i]}(f[j]+f[i]+1)}{deg[i]}f[i]=deg[i]1+deg[i]∑j∈son[i](f[j]+f[i]+1)
化简得
f[i]=deg[i]+∑j∈son[i]f[j]f[i]=deg[i]+\sum_{j\in son[i]}f[j]f[i]=deg[i]+j∈son[i]∑f[j]
显然可以树形dp。
g[i]=1deg[fa[i]]+1+g[fa[i]]+g[i]deg[fa[i]]+∑j∈(son[fa[i]])(j≠i)g[i]+f[j]+1deg[fa[i]]g[i]=\frac{1}{deg[fa[i]]}+\frac{1+g[fa[i]]+g[i]}{deg[fa[i]]}+\frac{\sum_{j\in (son[fa[i]])\ (j≠i)}g[i]+f[j]+1}{deg[fa[i]]}g[i]=deg[fa[i]]1+deg[fa[i]]1+g[fa[i]]+g[i]+deg[fa[i]]∑j∈(son[fa[i]]) (j=i)g[i]+f[j]+1
化简得
g[i]=deg[fa[i]]+g[fa[i]]+∑j∈son[fa[i]]j≠if[j]g[i]=deg[fa[i]]+g[fa[i]]+\sum_{j\in son[fa[i]]\ j≠i}f[j]g[i]=deg[fa[i]]+g[fa[i]]+j∈son[fa[i]] j=i∑f[j]
用一个sumsumsum统计一个点所有的儿子的fff的和，然后减去即可。先算fff，再算ggg。然后统计到根的路径的和，计算lcalcalca统计答案即可。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long longconst int maxn=1e5+7;
const LL mod=1e9+7;using namespace std;LL n,m,x,y,test,cnt;
LL f[maxn],g[maxn],deg[maxn],ls[maxn],disf[maxn],disg[maxn],sum[maxn],dep[maxn];
LL st[maxn][20];struct edge{int y,next;
}e[maxn*2];void add(int x,int y)
{e[++cnt]=(edge){y,ls[x]};ls[x]=cnt;
}void dfs1(int x,int fa)
{f[x]=deg[x];st[x][0]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;for (int i=ls[x];i>0;i=e[i].next){int y=e[i].y;if (y==fa) continue;dfs1(y,x);f[x]=(f[x]+f[y])%mod;sum[x]=(sum[x]+f[y])%mod;}
}void dfs2(int x,int fa)
{g[x]=deg[fa];if (fa) g[x]=(g[x]+g[fa]+sum[fa]+mod-f[x])%mod;disf[x]=(disf[fa]+f[x])%mod;disg[x]=(disg[fa]+g[x])%mod;for (int i=ls[x];i>0;i=e[i].next){int y=e[i].y;if (y==fa) continue;dfs2(y,x);}
}int lca(int x,int y)
{if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);int k=19,t=1<<19;int d=dep[y]-dep[x];while (d){if (d>=t) d-=t,y=st[y][k];t/=2,k--;}if (x==y) return x;k=19;while (k>=0){if (st[x][k]!=st[y][k]){x=st[x][k];y=st[y][k];}k--;}return st[x][0];
}int main()
{freopen("tree.in","r",stdin);freopen("tree.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&m);for (int i=1;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);deg[x]++;deg[y]++;add(x,y);add(y,x);}  dfs1(1,0);dfs2(1,0);    for (int j=1;j<20;j++){for (int i=1;i<=n;i++){st[i][j]=st[st[i][j-1]][j-1];}}     for (int i=1;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);int d=lca(x,y);printf("%lld\n",(disf[x]+mod-disf[d]+disg[y]+mod-disg[d])%mod);}
}

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