数学基础知识（扩展欧几里得定理）

一.欧几里得定理（辗转相除法）

性质：如果 i 能整除a，也能整除b，则 i 能整除a+b,也能整除ax+by(x,y为整数)，同时a mod b = a-(a/b)*b
用以上的性质我们知道如果一个 i 能整除a和b，那么它也能整除 a-(a/b)*b，因此
(a,b)的最大公约数等于(b,a-(a/b)*b)的最大公约数，也就是(b,a mod b)的最大公约数。

int gcd(int a,int b){b ? gcd(b,a%b):a;
}

二.扩展欧几里得定理

能够在求a和b的最大公约数的同时求出x和y的值。
裴蜀定理：指的是对于任意整数a,b，一定至少存在一对整数x,y，使ax+by = gcd(a,b)（最大公约数），这里的x,y为任意整数。
即a和b能凑出来的最小正整数为a和b的最小公约数
我们来分情况讨论：

(1)当b==0时

此时a和b的最大公约数为a，则x==1;

(2)当b!=0时

ax+by = gcd(a,b);
by+(a mod b)x = gcd(a,b)（这两个的最大公约数相同）
by+(a-(a/b)*b)x = gcd(a,b);
ax+b(y-(a/b)*x) = gcd(a,b);
也就是每递归调用一次x不用改变，y->y-(a/b)*x即可

int exgcd(int a,int b,int x,int b){if(!b){x = 1,y = 0;return a;}int d = gcd(b,a%b,y,x);y = y-a/b*x;return d;
}

数学基础知识（扩展欧几里得定理）相关推荐

扩展欧几里得定理的证明和代码
1.欧几里得算法,gcd(a,b)为a b(a>b)的最大公约数,则gcd(a,b) = acd(b, a%b) 利用这个定理我们可以反复对ab模下去求得a和b的最大公约数代码如下 int G ...
欧几里得定理与扩展欧几里得定理
欧几里的定理(辗转相除法): gcd(a,b) = gcd(b,a%b) gcd(a,b)表示a,b的最大公约数证明: 设 a > b c = a%b a = k * b + c (k为某个整 ...
扩展欧几里得定理求ax + by = c 的通解
扩展欧几里得定理求ax + by = c 的通解: 前置条件: ax + by = c , gcd(a, b) = d 计算: a d \frac{a}{d} dax + b d \frac{b}{ ...
专题·扩展欧几里得定理【including 求解二元一次方程，线性同余方程
初见安~这里是基础数论专题(3)~[详见数论专栏] p.s:本文章假设你已经掌握了欧几里得算法--辗转相除法求最大公约数(gcd) 一.二元一次方程形如的含有两个未知数且最高次数为1的方程我们称之为 ...
扩展欧几里得定理详解和运用(就不信你看不懂！）
1 :扩展欧几里得内容: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得ax+by =c.(若 c%gcd(a,b)!=0)则无解所以我们求ax+by=c是不是可以转化为求 ax+by=k ...
浅谈扩展欧几里得定理（附裴蜀定理）
关于扩展欧几里得定理众所周知,扩展欧几里得定理是用来求形如(a,b,c皆为整数)这样的方程的一组解[注,仅是一组解]的定理它的原理比较复杂,本人学了挺久才懂了一点,这里就不谈了,扩欧的核心是它的思 ...
扩展欧几里得定理新手向证明及代码
知识储备 1 . 朴素欧几里得原理:gcd(a,b) == gcd(b,a % b) 2 . 负数取模:忽略符号返回绝对值就好了 3 . 模数原理:对于整数a,b必然存在整数k使得a % b == a ...
对扩展欧几里得定理理解+证明
原文出处: https://blog.csdn.net/Floatiy/article/details/80452643 知识储备 1 . 朴素欧几里得原理:gcd(a,b) == gcd(b,a % ...
扩展欧几里得定理基础讲解代码及证明
知识储备 1 . 朴素欧几里得原理:gcd(a,b) == gcd(b,a % b) 2 . 负数取模:忽略符号返回绝对值就好了 3 . 模数原理:对于整数a,b必然存在整数k使得a % b == a ...