一、相关知识提要

1.Newton插值法

2. 正交多项式的方法作曲线拟合

二、代码实现

1.Newton插值法

function [] = Newton_Chazhi(x,X,Fx)
%牛顿插值求解近似值
% x：待求值自变量 X：所有节点构成构成的向量 Fx：节点对应函数值构成的向量n=length(X); %获取输入节点个数A=zeros(n,n-1);
M=[Fx,A]; %构建差商表，其中第一列为自变量对应函数值
N=zeros(n,2); %初始化近似值表，第二列为相应精度
for i=1:n-1 %求差商表for j=1:n-iM(j+i,i+1)=(M(j+i,i)-M(j+i-1,i))/(X(j+i,1)-X(j,1));end
end
M
N(1,1)=M(1,1);
for k=1:n-1paiX=1;for l=1:kpaiX=(x-X(l))*paiX;%计算连乘enddeltaN=M(k+1,k+1)*paiX;N(k+1,2)=abs(deltaN);N(k+1,1)=N(k,1)+deltaN;
end
fprintf('近似值：%.8f  精度：\\ \n',N(1,1))
for i=2:nfprintf('近似值：%.8f  精度：%.8f\n',N(i,1),N(i,2))
end

2. 正交多项式的方法作曲线拟合

在这里我们采用的是方法二作为的算法

function [] = ZJNH(X,F,n)
% 用正交多项式做曲线拟合
% X：自变量数组 F：函数值数组 n：拟合次数
syms  x  %声明x为自变量
m=length(X); % 获取输入数据组数
P=cell(n+1,1);P{1,1}=0;P{2,1}=1; %初始化Pk（x）
a=zeros(1,n+1); %初始化系数a*
for i=1:n+1a_u=0;a_l=0;b_l=0;A_u=0;for j=1:mx=X(j,1);a_u=a_u+X(j,1)*subs(P{i+1,1})*subs(P{i+1,1}); %计算Alpha的分子a_l=a_l+subs(P{i+1,1})*subs(P{i+1,1});        %计算Alpha的分母A_u=A_u+F(j,1)*subs(P{i+1,1});                %计算系数a*的分子b_l=b_l+subs(P{i,1})*subs(P{i,1});            %计算Beta的分母endAlpha=a_u/a_l;a(1,i)=vpa(A_u/a_l);if i==1Beta=0;elseBeta=a_l/b_l;endx='x';P{i+2,1}=(x-Alpha)*P{i+1,1}-Beta*P{i,1}; %计算P的表达式并储存在cell里
end
y=a(1,1)*P{2,1};
for i=1:ny=y+a(1,i+1)*P{i+2,1}; % 计算拟合式的每一次digits(6) % 控制6位精度y=vpa(expand(y)); % 展开表达式并以小数显示fprintf("%d次拟合：%s\n",i,y)
end

三、运行结果

传入题设数据，结果如图所示

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