MATLAB程序设计期中作业

——编程实现牛顿插值

成员:刘 川(P091712797)　签名＿＿＿＿＿

汤 意(P091712817) 签名＿＿＿＿＿

王功贺(P091712799) 签名＿＿＿＿＿

班级:2009信息与计算科学

学院:数学与计算机科学学院

日期:2012年05月02日

牛顿插值的算法描述及程序实现

一：问题说明

在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。

插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

二：算法分析

newton插值多项式的表达式如下：

其中每一项的系数ci的表达式如下：

即为f (x)在点处的i阶差商，(，)，由差商的性质可知：

牛顿插值的程序实现方法：

第一步：计算。

第二步：计算牛顿插值多项式中，，得到n个多项式。

第三步：将第二步得到的n个多项式相加，得到牛顿插值多项式。

第四步：利用所得到的插值多项式，估算取其它值时的值。

第五步：作出所求多项式在插值结点周围的函数图像。

三：编程实现

function [p2,z]=newTon(x,y,t)

%输入参数中x,y为元素个数相等的向量，t为待估计的点，可以为数字或向量。

%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式，z为利用多项式所得的t的函数值。

n=length(x);

chaS(1)=y(1);

for i=2:n

x1=x;y1=y;

x1(i+1:n)=[];

y1(i+1:n)=[];

n1=length(x1);

s1=0;

for j=1:n1

t1=1;

for k=1:n1

if k==j

continue;

else

t1=t1*(x1(j)-x1(k));

end

end

s1=s1+y1(j)/t1;

end

chaS(i)=s1;

end

b(1,:)=[zeros(1,n-1) chaS(1)];

cl=cell(1,n-1);

for i=2:n

u1=1;

for j=1:i-1

u1=conv(u1,[1 -x(j)]);

cl{i-1}=u1;

end

cl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1};

b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];

end

p2=b(1,:);

for j=2:n

p2=p2+b(j,:);

end

if length(t)==1

rm=0;

for i=1:n

rm=rm+p2(i)*t^(n-i);

end

z=rm;

else

k1=length(t);

rm=zeros(1,k1);

for j=1:k1

for i=1:n

rm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)^(n-i);

end

z=rm;

end

end

plot(t,z,y,x,y,*r)

四：实例验证

clc

clear

x=[0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05];

y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25386];

t=0.4:0.1:1.05;

[u,v]=newTon(x,y,t)

执行结果：

u =

0.0085 0.0032 0.1587 0.0073 0.9971 0.0004

v =

0.4108 0.5211 0.6367 0.7586 0.8881 1.0265 1.1752

1.3356 1.5095

则所求得的牛顿多项式为：

牛顿多项式的函数图像及已知节点在坐标中的显示如下：

五：结果分析

本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比较清晰的通过图像显示出来，总体来说，计算结果是比较理想的，达到了我们的目的。

然而程序在实现过程中，依旧存在着一些不足之处，总体反应在灵活性方面，参数的输入必须为三个，否则程序会出错，有时候我们仅需要得到牛顿多项式，而不需要去估算某个具体的x对应的函数值。另外，本程序的函数在实现过程中会给出多项式函数的函数图像，没有设置参数对其判断是否需要。因此，这些都是有待改进的地方。

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