数组子序列累加和求余数之后的最大值问题详解

给定一个非负的数组arr，和一个正数m，返回arr中所有子序列累加和对m求余数之后的最大值

1.如果arr中每个数字不大，怎么做这道题？
2.如果arr中m的值很小，怎么做这道题？
3.如果arr的长度很短，但是每个arr中数字比较大并且m比较大？

如何求解所有的子序列问题？

1.暴力解法复杂度O(2 ^ N)

2.背包解法（为什么能想到这个问题）复杂度O(N*SUM) N代表数组的长度，SUM代表数组累加和
子序列和背包问题的关系：
使用动态规划何求出数组arr所有的累加和
累加和数组不能太大；
dp[i][j]的含义：数组在arr[0…i]的之间的元素的累加和能否为j

状态转移方程：
dp[i][j] = dp[i-1][j] // 不选择第i个元素
| dp[i-1][j-arr[i]] //选择第i个元素

3.重新定义动态规划的状态：时间复杂度O(M*N) N代表数组的长度
dp[i][j] 代表的含义是：在数组arr[0…i]之间的元素是否存在累加和对m求余数的结果为j

4.二分解法,采用分治的思想；

暴力解法：

 //第一种方式也就是暴力求解//共有2^n次方中可能性；每个位置都有两种可能性，选择或者不选择//时间复杂度过高private int getSubsequenceMaxModMForce(int[] arr, int m) {int res = 0;Set<Integer> set = new HashSet<>();processForce(arr, 0, 0, set);for (Integer num : set) {res = Math.max(res, num % m);}return res;}/*** 参数说明** @param arr 原数组* @param cur 当前待处理的角标位置* @param sum 累加和* @param set 所有累加和的集合*/private void processForce(int[] arr, int cur, int sum, Set<Integer> set) {if (cur == arr.length) {set.add(sum);return;}processForce(arr, cur + 1, sum, set);processForce(arr, cur + 1, sum + arr[cur], set);}

第一种动态规划：

 /*** 动态规划一，适用于arr数组中每个元素都不大的* <p>* boolean dp[i][j]:表达的含义是在数组范围arr[0...i]是否能够累加和为j*/private int getSubsequenceMaxModMDpSum(int[] arr, int m) {int sum = 0;for (int num : arr) {sum += num;}boolean[][] dp = new boolean[arr.length][sum + 1];// base case// 第0行元素 第0个元素是 dp[0][0] = true dp[0][arr[0]] = true// 第0列元素 都是true，这是因为这一列存在一种什么元素都不选的情况dp[0][arr[0]] = true;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {dp[i][0] = true;}//状态转移方程 选择或者选择for (int i = 1; i < arr.length; i++) {for (int j = 1; j <= sum; j++) {dp[i][j] = dp[i - 1][j];if (j >= arr[i]) {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - arr[i]];}}}int res = 0;for (int i = 0; i <= sum; i++) {if (!dp[arr.length - 1][i]) continue;res = Math.max(res, i % m);}return res;}

第二种动态规划的方式

/*** 动态规划的第二种方式* boolean[] dp[i][j]:表达的这种含义是在数组arr[0...j]的范围内，是否存在累加和的余数为j*/private int getSubsequenceMaxModMDpM(int[] arr, int m) {boolean[][] dp = new boolean[arr.length][m];//base case//当第0行元素的时候，只有dp[0][arr[0] % m] = true;//当第0列的时候，只有有一个为0也都为truedp[0][arr[0] % m] = true;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {dp[i][0] = true;}//状态转移方程为for (int i = 1; i < arr.length; i++) {for (int j = 1; j < m; j++) {//不选择dp[i][j] = dp[i - 1][j];//选择int cur = arr[i] % m;if (j >= cur) {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - cur];} else {dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - cur + m];}}}for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {if (dp[arr.length - 1][i]) return i;}return 0;}

第三种分治的思想：

 /*** 分治算法,使用数组的长度不大的情况下*/private int getSubsequenceMaxModMDivide(int[] arr,int m){if(arr.length == 1){return arr[0] % m;}int mid = (arr.length - 1) / 2;TreeSet<Integer> sort1 = new TreeSet<>();processDivide(arr,0,0,m,sort1,mid + 1);TreeSet<Integer> sort2 = new TreeSet<>();processDivide(arr,mid + 1,0,m,sort2,arr.length);int res = 0;for(int left : sort1){res = Math.max(res,left + sort2.floor(m - left - 1));}return res;}private void processDivide(int[] arr,int cur,int sum,int m,Set<Integer> set,int end){if(cur == end){set.add(sum % m);return;}processDivide(arr,cur + 1,sum,m,set,end);processDivide(arr,cur + 1,sum + arr[cur],m,set,end);}

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