欧拉的问题:凸多边形划分为三角形的方法数
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今天是5月14日,我们按照规定,给出几道答案等于14的题目。
(一)
一个正七边形有多少条对角线?(7个点之间两两连线,可以连接出7*6/2=21条线段,其中有七条是正七边形的边,那么,剩余线段的数量就是正七边形对角线的数量,请您自己计算。另外,也可以从另一角度来计算对角线的数量:广义的正七边形还包括星状七边形。星状七边形有两种,一种是从任意一个顶点出发,相隔一个顶点依次进行连线,这样,连接七次后,回到出发点,形成下图中红色的星状七边形。第二种也是从任意一个顶点出发,但这次是相隔两个顶点依次进行连线,于是,也是连接七次后回到出发点,连接出下图中绿色星状七边形。红绿两种星状七边形是不同的,互相不会重复或重叠。两种星状七边形的边合在一起,构成全部正七边形的对角线。)
(二)
一个正四边形(正方形)可以有两种方法把它划分成两个三角形:
一个正五边形有下面五种方法把它划分成三角形:
那么,一个正六边形可以有多少种方法把它划分成三角形呢?
下面是几个公式:
(1)欧拉给出的公式(n代表正多边形的边数):
(2)塞格纳(Johann Andreas Segner)的公式(其中规定E2=1):
请您自行验证一下正六边形内划分出三角形的方法共有多少种(n取6时)。上面是对正多边形进行的讨论。其实对凸多边形都是成立的。
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