假设检验

目的

用于判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。

显著性检验是假设检验中最常用的方法之一。

原理：先对总体的特征作出某种假设，然后通过抽样研究的统计推理，对此推理是接收还是拒绝作出判断。

参数检验(已知分布)

步骤

列出假设H₀、H₁
根据上述假设，可写出其对应的分布
样本值带入分布，计算出对应的值
判断值是否在当前显著性水平的接受域
若在接受域，则接受当前分布的假设，否则拒绝该假设选择另外一个假设。

非参数检验(未知分布)

在一次实验中几乎不可能发生，若发生了则认为它不成立，即θ₀属于U(拒绝域),则拒绝H₀，认为θ!=θ₀

原假设和备选假设的设定

通常研究假设为备选假设H₁

目的：样本计算值落在拒绝域，此时称有95%的证据表明H₀不对，所以接受H₁

婴儿服用维他命实例

H0:药物是无效的

H₁:药物是有效的

反证法：通过推翻H₀来证实H₁是有效的

洗衣粉案例

H₀:洗衣粉净含量大于等于500

H₁:洗衣粉含量小于500

研究目的：是否有充分的证据证明，洗衣粉的含量少于500

落在拒绝域：有充分的证据证明厂家生产洗衣粉净含量少于500
落在接受域：没有充分的证据证明厂家生产洗衣粉净含量少于500

H₀:洗衣粉含量小于500

H₁:洗衣粉净含量大于等于500

落在拒绝域：有充分的证据证明厂家生产洗衣粉净含量大于等于500
落在接受域：没有充分的证据证明厂家生产洗衣粉净含量大于等于500

正态总体下的假设检验表

检验名称	已知	H₀	H₁	拒绝域	统计量
u检验	X~N(μ,σ₀²) σ₀²已知 X₁,X₂,X₃,X₄,…X_n	μ=μ₀ μ>=μ₀ μ<=μ₀	μ!=μ₀ μ<μ₀ μ>μ₀	{\|u\|>u_1-α/2} {u<u_α} {u>u_α}	u = X ˉ − μ 0 σ 0 / n u=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma_0/\sqrt{n}} u=σ0/n Xˉ−μ0
~	X~N( μ 1 , σ 1 2 \mu_1,\sigma_1^2 μ1,σ12) Y~N( μ 2 , σ 2 2 \mu_2,\sigma_2^2 μ2,σ22) σ 1 与 σ 2 已知 \sigma_1与\sigma_2已知 σ1与σ2已知 X₁,X₂,X₃,X₄,…X_n Y₁,Y₂,Y₃,Y₄,…Y_n	μ=μ₀ μ>=μ₀ μ<=μ₀	μ!=μ₀ μ<μ₀ μ>μ₀	{\|u\|>u_1-α/2} {u<u_α} {u>u_α}	u = X ˉ − Y ˉ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 u=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} u=n1σ12+n2σ22 Xˉ−Yˉ
t检验	X~N(μ,σ₀²) σ²未知 X₁,X₂,X₃,X₄,…X_n	μ=μ₀ μ>=μ₀ μ<=μ₀	μ!=μ₀ μ<μ₀ μ>μ₀	{\|t\|>t_1-α/2(n-1)} {t<t_α(n-1)} {t>t_α(n-1)}	t = X ˉ − μ 0 S / n − 1 或 t = X ˉ − μ 0 S ∗ / n t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n-1}}\\或t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S_*/\sqrt{n}} t=S/n−1 Xˉ−μ0或t=S∗/n Xˉ−μ0
~	X~N( μ 1 , σ 1 2 \mu_1,\sigma_1^2 μ1,σ12) Y~N( μ 2 , σ 2 2 \mu_2,\sigma_2^2 μ2,σ22) σ \sigma σ未知 X₁,X₂,X₃,X₄,…X_n Y₁,Y₂,Y₃,Y₄,…Y_n	μ=μ₀ μ>=μ₀ μ<=μ₀	μ!=μ₀ μ<μ₀ μ>μ₀	{\|t\|>t_1-α/2(n₁+n₂-2)} {t<t_α(n₁+n₂-2)} {t>t_α(n₁+n₂-2)}	t = n 1 n 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) n 1 + n 2 X ˉ − Y ˉ n 1 S 1 2 + n 2 S 2 2 t=\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2-2)}{n_1+n_2}}\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{n_1S_1^2+n_2S_2^2}} t=n1+n2n1n2(n1+n2−2) n1S12+n2S22 Xˉ−Yˉ
χ 2 检验 \chi^2检验 χ2检验	X~N(μ,σ₀²) μ未知 X₁,X₂,X₃,X₄,…X_n	σ²=σ₀² σ²>=σ₀² σ²<=σ₀²	σ^2!=σ₀² σ²<σ₀² σ²>σ₀²	{ χ 2 < χ α 2 2 ( n − 1 ) \chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) χ2<χ2α2(n−1)}U{ χ 2 > χ 1 − α 2 2 ( n − 1 ) \chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1) χ2>χ1−2α2(n−1)} { χ 2 < χ α 2 2 ( n − 1 ) \chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) χ2<χ2α2(n−1)} { χ 2 > χ 1 − α 2 2 ( n − 1 ) \chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1) χ2>χ1−2α2(n−1)}	χ 2 = n S 2 σ 0 2 \chi^2=\frac{nS^2}{\sigma_0^2} χ2=σ02nS2
F检验	X~N( μ 1 , σ 1 2 \mu_1,\sigma_1^2 μ1,σ12) Y~N( μ 2 , σ 2 2 \mu_2,\sigma_2^2 μ2,σ22) μ 1 与 μ 2 未知 \mu_1与\mu_2未知 μ1与μ2未知 X₁,X₂,X₃,X₄,…X_n Y₁,Y₂,Y₃,Y₄,…Y_n	σ²=σ₀² σ²>=σ₀² σ²<=σ₀²	σ^2!=σ₀² σ²<σ₀² σ²>σ₀²	{ F < F α 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F<F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1) F<F2α(n1−1,n2−1)}U{ F > F 1 − α 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F>F_{1-\frac{\alpha}{2}(n_1-1,n_2-1)} F>F1−2α(n1−1,n2−1)} { F < F α 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F<F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1) F<F2α(n1−1,n2−1)} { F > F 1 − α 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F>F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1) F>F1−2α(n1−1,n2−1)}	F = n 1 ( n 2 − 1 ) S 1 2 n 2 ( n 1 − 1 ) S 2 2 F=\frac{n_1(n_2-1)S_1^2}{n_2(n_1-1)S_2^2} F=n2(n1−1)S22n1(n2−1)S12

此时H~0~中当假设为>=μ~0~,或<=μ~0~时，取μ~1~=μ~2~进行计算

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