概率统计：第八章：假设检验

第八章：假设检验

内容提要：

1、在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的情况下，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设，然后根据样本对所提出的假设作出是接受还是拒绝的决策过程称为假设检验。

2、处理假设检验问题的步骤：

（1）根据实际问题的要求，提出原假设H₀及备择假设H₁；

（2）给定显著性水平及样本容量；

（3）确定检验统计量及拒绝域的形式；

（4）按{当H₀为真拒绝H₀}求出拒绝域；

（5）取样，根据样本观测值作出决策，是接受H₀还是拒绝H₀。

3、两类错误：

（1）当假设H₀实际为真时，由样本观测值做出了拒绝H₀的错误结论，称为第一类错误或“以真当假”错误，用表示犯第一类错误的概率，即{};

（2）当假设H₀实际为错误时，由样本观测值做出了接受H₀的错误结论，称为第二类错误或“以假当真”错误，用表示犯第二类错误的概率，即{};

当样本容量固定时，若要减少犯第一类错误的概率，犯第二类错误的概率会增大，同时，若要减少犯第二类错误的概率，犯第一类错误的概率会增大。若要使犯两类错误的概率同时减少，在样本容量固定的情况下是不可能的。一般来说，假设检验中总是控制犯第一类错误的概率，使它较小，对犯第二类错误的概率不加考虑。

4、正态总体参数的假设检验方法表（显著性水平为）

5、置信区间与假设检验的关系：

考虑显著性水平为的假设检验：假设它的接受域为：

即有：

从而对，有

因此，是参数的一个置信水平为的置信区间，即假设检验接受域的上下两个边界就是对应参数置信区间的置信上限和置信下限。

基本要求：

1．理解“假设检验”的概念，掌握假设检验的基本求解步骤。

2．理解假设检验两类错误的产生根源及对应概率的定义。

3．掌握单段两个正态总体参数，假设检验求解。

4．了解假设检验与置信区间的关系。

本章难点：假设检验的基本原理，假设检验中两类错误产生的根源。

本章重点：假设检验的求解步骤。

难点解析：

1．假设检验的基本思想：反证法与基本统计推断原理（小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的）这里可假设检验的基本做法中体会到：设有某个假设需要检验，先假设正确，在此“假定”之下构造一个时间，它在正确的条件下发生的概率很小：设定，现在进行一次实验，如果事件发生了，那便是出现了一个小概率事件，但由基本统计推断原理，事件是不可能发生的，现在居然发生了，这与基本统计推断原理“矛盾”，从而表明“假设是正确”是错误的，从而拒绝，反之，如果小概率事件没有出现，通常接受。

2.假设检验中两类错误产生的根源，可以两方面理解：一方面基本统计推断原理中“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”，并非“小概率事件在一次试验中绝对不会发生”，因此，若H₀正确，但碰巧小概率事件在一次试验中发生了，就作出了拒绝H₀的决策，而这一决策是错误的，这就产生了假设检验中的两类错误；另一方面，假设检验是根据样本推断总体，实质上是用部分推断整体，这本身就决定了不可能绝对不犯错误。

典型例题分析：

例1：下面是某个随机选取20只部件的装配时间（单位：分）

9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2

10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7

设装配时间的总体服从正态分布，参数均未知

（1）可否认为装配时间的均值为10？

（2）可否认为装配时间的均值显著大于10？

分析：假设检验分双边假设检验与单边假设检验，进行假设检验时要注意由问题所问进行区分。

解：（1）由题设知总体，均未知，要求在水平下检验假设

因未知，采用t检验，取检验统计量为：

由于n=20，=10.2，s=0.51，，

绝对域为：

经计算即检验统计量不落在拒绝域内，故在水平下接受原假设H₀,即认为装配时间均值可认为是10。

（2）由题设知总体,均未知，要求在水平下检验假设：

因未知，采用t检验，取检验统计量为

由于n=20，=10.2，s=0.51，,

拒绝域为：即经计算：t＝1.75>1.729，检验统计量落在拒绝域内，故在水平下拒绝假设，认为装配时间明显大于10。

例2：测得两批电子器件的样品的电阻（单位：）为：

A批(x)	0.140	0.138	0.143	0.142	0.144	0.137
B批(y)	0.135	0.140	0.142	0.136	0.138	0.140

设两批器材电阻总体分别服从分布均未知，且两样本独立，问在下，可否认为两批电子器件的电阻相等？

分析：进行假设检验时，要仔细审题，搞清楚问题需要检验的假设，以及进行该检验需要知道的前提，本题进行的是两独立正态总体均值相等与否的假设检验，这种检验需要两总体方差是否相等的前提，所以本题需要进行两独立总体方差是否相等的假设检验，若经检验方差相等的假设成立，方可进行均值相等与否的检验。

解：由题设，A批电子器件的电阻,B批电子器件的电阻，这里均未知。

(1)在水平下，检验假设

采用F检验，检验统计量

现有

，拒绝域为：

经计算：F=1.108，因0.140<1.108<7.15，故检验统计量不落在拒绝域，故在水平下接受的假设，认为两批电子器件电阻方差相等。

(2)基于两总体方差相等的前提，在水平下，检验假设，采用t检验。检验统计量为

现有：

拒绝域为：

经计算：|T|=1.3958<2.2281，不落在拒绝域内。故在水平下接受假设H₀，认为两批器件电阻均值相等。

例3：有两台机器生产金属部件,分别在两台机器所生产的不见中各取一容量年n=60,n=40的样品,测的部件重量(单位:公斤)的样本分差分别为,,设两样本相互独立，两总体分别服从，分布。均未知，问：在水平下，可否认为第一台机器生产的部件重量的方差大于第二台机器生产部件重量的方差。

解：由题设要求在水平下检验假设，

采用F检验，检验统计量为

现有

拒绝域为

经计算：。检验统计量不落在拒绝域内，故在下接受。认为第一台机器生产的部件重量的方差大于第二台机器生产部件重量的方差。

自测题

一、选择题

1．在显著性水平下，对正态总体期望进行假设的检验，若经检验原假设被接受，问在水平下，下面结论正确的是（）

（A）接受（B）拒绝

（B）可能接受也可能拒绝（D）不接受也不拒绝

2．设总体～，已知，未知。（）为来自的一组样本。问检验假设，的拒绝域为（）

（A）（B）

（C）（D）

3．在假设检验中，记为待检验原假设，则称（）为第一类错误。

（A）为真，接受（B）不真，拒绝

（C）为真，拒绝（D）不真，接受

二填空题:

4. 设是来自总体的样本,未知,且，则假设的t检验的检验统计量.

5. 设总体已知,为来自总体X的样本,则检验假设的统计量为______:当成立时,服从______分布。

三解答题

6. 化工厂用自动打包机包装化肥，某日测得9保化肥的重量（公斤），如下：

49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4

已知打包重量服从正态分布，是否可认为每包平均重量为50公斤（）。
7. 某台机器加工零件，规定零件长度为100厘米，标准差不得超过2厘米，

每天定时检查及其运行情况，某月抽取零件10个，测得平均长度厘米。标准差厘米。设加工零件长度服从正态分布，问该机器工作是否正常（）。（提示：设零件长度先检验假设，后检验假设).

8. 冶炼某种金属有两种方法。现各随取一个样本，得产品种杂质含量（单位克）如下：

甲：26.9 22.8 25.7 23.0 22.3 24.2 26.1 26.4 27.2 30.2 24.5 29.5 25.1

乙：22.6 22.5 20.6 23.5 24.3 21.9 20.6 23.2 23.4

已知产品杂质含量服从正态分布，问

（1）所含产品杂质方差是否相等，

（2）甲种冶炼方法所生产产品杂质含量是否不大于乙种方法

答案：1.A 2.D 3.C

4. 5.

6.可以

7.该日机器工作正常

8.（1）无明显差异

(2)甲种冶炼方法所生产产品杂质含量大于乙种方法

from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap8.htm

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