石子合并的GarsiaWachs算法

2010-07-28 18:55:51| 分类：程序 |字号订阅

石子合并（每次合并相邻的两堆石子，代价为这两堆石子的重量和，把一排石子合并为一堆，求最小代价）

是一个经典的问题。dp可以做到O(n*n)的时间复杂度，方法是：

设f[i,j]为合并从i到j的石子所用最小代价。

f[i,j]=min(sum(i,j)+f[i,k]+f[k+1,j])对所有i<=k<j，其中sum(i,j)表示从i到j的石子重量之和。

设上式取等时k的值为w[i,j]，有神牛证明过：w[i,j]>=w[i,j-1],w[i,j]<=w[i+1,j]

这样，枚举k的时候，就有了一个上下界，从而搞掉了一维。

而GarsiaWachs算法可以把时间复杂度压缩到O(nlogn)。

具体的算法及证明可以参见《The Art of Computer Programming》第3卷6.2.2节Algorithm G和Lemma W,Lemma X,Lemma Y,Lemma Z。

只能说一个概要吧：

设一个序列是A[0..n-1]，每次寻找最小的一个满足A[k-1]<=A[k+1]的k，（方便起见设A[-1]和A[n]等于正无穷大）

那么我们就把A[k]与A[k-1]合并，之后找最大的一个满足A[j]>A[k]+A[k-1]的j,把合并后的值A[k]+A[k-1]插入A[j]的后面。

有定理保证，如此操作后问题的答案不会改变。

举个例子：

186 64 35 32 103

因为35<103，所以最小的k是3，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个超过67的数，把67插入到他后面

186 64（k=3,A[3]与A[2]都被删除了） 103

186 67（遇到了从右向左第一个比67大的数，我们把67插入到他后面） 64 103

186 67 64 103 （有定理保证这个序列的答案加上67就等于原序列的答案）

现在由5个数变为4个数了，继续！

186 （k=2,67和64被删除了）103

186 131（就插入在这里） 103

186 131 103

现在k=2（别忘了，设A[-1]和A[n]等于正无穷大）

234 186

420

最后的答案呢？就是各次合并的重量之和呗。420+234+131+67=852，哈哈，算对了。

证明嘛，基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后
证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的
深度不会改变。详见TAOCP。

具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”

朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化（好熟悉的优化方法），使得最终复杂度为O(nlogn)

事情并没有结束。

我在poj1738上看到了一个50000个数的石子合并，很痛苦地想：要写平衡树了:(

但是当我把朴素实现的代码

http://cid-354ed8646264d3c4.office.live.com/self.aspx/.Public/1738.cpp

交上去的时候，发现，AC了？！

为什么？

平方的复杂度，50000的数据......

我着手分析。

首先，每次combine()（见源代码）操作的时候，并不一定都会访问到整个数组。

从随机的角度来讲，新合并出来的石子堆相比那些已经合并许许多多次的石子堆来说，

并不是很“牛”。因为他并不很牛，所以j的值也不比k小得了多少。

并且我们维护的“2-递减”序列本身就有一个很强的序的关系，所以从某种感觉上讲，combine()递归调用的次数很少。

这只是一个感性的想法，实际上，它唯一能够提供给我们的想法是：隐藏在O(n*n)里的常数非常小！

有多小？自己测试一下，（我的笔记本比较慢）大约实际时间＝0.00000036*n*n毫秒

但即使这样，按照多组数据的时间换算一下，还是应该超时的呀。

看题目最后一句话：

For each test case output the answer on a single line.You may assume the answer will not exceed 1000000000.

这句话等价于：每个数都不会很大（要合并49999次呢！），继续等价于：有好多数是相同的。

即使这样，又有什么不同呢？

当然了！

我绘制了一幅平均每次k-j的值关于n的图像

其中橘红色的列是我生成的随机的实数作为数据测的结果，而蓝色的是随机生成的［1，1024］间的整数测得的结果。

很明显，小范围的数据大大“加速”了算法，甚至可能引起复杂度上的差异。

就是这样，让本该写一个平衡树的题用数组AC了。

呵呵。

转自网易博客：http://fanhq666.blog.163.com/blog/static/81943426201062865551410/

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