石子合并问题java,石子合并问题 GarsiaWachs算法
石子合并问题 GarsiaWachs算法
目录引入
一个较为朴素的算法
GarsiaWachs算法
引入
在一个操场上摆放着一排 \(N\) 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的 \(2\) 堆石子合并成新的一堆,并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法,计算出将 \(N\) 堆石子合并成一堆的最小得分。
数据范围 \(n \le 4e4\)
一个较为朴素的算法
不是暴力
按照区间DP的思路来做
设 \(f_{i, j}\) 表示区间 \([i, j]\) 合并的最小得分,枚举一个端点 \(k\),那么有转移方程:(其中 \(a\) 数组是预处理后的前缀和)
\[f_{i, j} = \min \{ f_{i, j}, f_{i, k} + f_{k + 1, j} + a_j - a_{i - 1} \}
\]
注意 \(i\) 要倒序枚举,\(j\) 要正序枚举
答案就是 \(f_{1, n}\)
时间复杂度: \(O(n^3)\);空间复杂度:\(O(n^2)\)
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge:
Time: O()
*/
#includeiostream
#includecstdio
#includecstring
#includealgorithm
#define LL long long
#define orz cout"lkp AK IOI!"endl
using namespace std;
const int MAXN = 22335;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
int n;
int a[MAXN];
int f[MAXN][MAXN];
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s 1) + (s 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f -s : s;
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i = n; ++i) a[i] = read() + a[i - 1];
for(int i = n; i = 1; --i){
for(int j = i; j = n; ++j){
if(i == j) continue;
f[i][j] = INF;
for(int k = i; k j; ++k) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + a[j] - a[i - 1]);
}
}
printf("%d\n", f[1][n]);
return 0;
}
GarsiaWachs算法
发现数据范围太大了,上面的算法已经不能满足我们的需求,这里有一种优化算法,专门用来解决石子问题
每次操作,从前向后找一个最小的 \(k\),使其满足 \(a_{k - 1} \le a_{k + 1}\),然后合并 \(a_{k - 1}\) 和 \(a_k\)
从 \(k\) 开始向前找到第一个 \(j\) 使得 \(a_j a_{k - 1} + a_k\),并将合并后的新值插入位置 \(j\) 后面
进行 \(n - 1\) 次结束,在合并过程中统计答案即可
时间复杂度:\(O(n^2)\);空间复杂度:\(O(n)\)
正确性证明:作为一个OI,会应用就好啦,其实是我不会
Code
/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge:
Time: O()
*/
#includeiostream
#includecstdio
#includecstring
#includealgorithm
#includevector
#define LL long long
#define orz cout"lkp AK IOI!"endl
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;
LL n, ans = 0;
vectorint a;
int read(){
int s = 0, f = 0;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) f |= (ch == '-'), ch = getchar();
while(isdigit(ch)) s = (s 1) + (s 3) + ch - '0' , ch = getchar();
return f -s : s;
}
int merge(){//GarsiaWachs算法
int k = a.size() - 2;
for(int i = 0; i a.size() - 2; ++i)
if(a[i] = a[i + 2]){
k = i; break;
}
int sum = a[k] + a[k + 1];
a.erase(a.begin() + k);
a.erase(a.begin() + k);
int inst = -1;
for(int i = k - 1; i = 0; --i)
if(a[i] sum){
inst = i; break;
}
a.insert(a.begin() + inst + 1, sum);
return sum;
}
int main()
{
n = read();
for(int i = 1; i = n; ++i) a.push_back(read());
for(int i = 1; i n; ++i) ans += merge();
printf("%lld", ans);
return 0;
}
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