哈夫曼压缩和矩阵压缩存储

对于数组的压缩存储，一维数组主要使用哈夫曼压缩，多维数组主要采用矩阵压缩的形式，对特殊矩阵和系数矩阵进行压缩。

哈夫曼压缩

哈夫曼压缩是由哈夫曼树推广而来的，是哈夫曼编码的重要应用。哈夫曼树 ─ 即最优二叉树，带权路径长度最小的二叉树，经常应用于数据压缩。对于重复较大的数据，哈夫曼可以在压缩后，体现出很强的性能，但是如果数据重复量不大，哈夫曼压缩就无法展现出自己的性能，甚至可能会适得其反。
哈夫曼压缩是个无损的压缩算法，一般用来压缩文本和程序文件。哈夫曼压缩属于可变代码长度算法一族。意思是个体符号（比如，文本文件里的字符）用一个特定长度的位序列替代。
因此。在文件里出现频率高的符号，使用短的位序列。而那些非常少出现的符号。则用较长的位序列。

哈夫曼编码
哈夫曼编码是一种一致性编码法（又称“熵编码法”），用于数据的无损耗压缩。它是根据数据出现的次数进行排序，出现最多的的数字编码长度最短，从而实现压缩存储，在压缩过程中不会丢失信息熵。并且能够证明 Huffman 算法在无损压缩算法中是最优的。
在目前的数据传中，需要将传送的文字转换为由二进制字符组成的字符串，同时希望总长尽可能的短。如果对每个字符设计长度不等的编码，且让传送的字符中出现次数最多的字符串采用尽可能短的编码，就能够使得总长度降到最低。但是每个字符都有多种译法，想要得到长度不等的编码，必须满足一个条件：每个字符的编码都不是另一个字符的编码前缀，这种编码也叫做“前缀编码”

哈夫曼树的构建

根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.
在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.
在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.
重复2、3,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)
把这棵树上的根节点定义为 0 （可自行定义 0 或 1 ）左边为 0 。右边为 1 。

这样就能够得到每个叶子节点的哈夫曼编码了。
举个栗子：如权值集合W={7,19,2,6,32,3,21,10 }构造赫夫曼树的过程。

选定两个最小权值的节点将他们组成二叉树

组成新的权值队列，继续寻找两个权值最小的组成二叉树

继续此流程，最终构建一个二叉树，再使用左0右1即得到每个节点的编码

权值为2节点的编码为 10000 权值为3节点的编码为 10001
权值为6节点的编码为 1001 权值为7节点的编码为 1010
权值为10节点的编码为 1011 权值为19节点的编码为 00
权值为21节点的编码为 01 权值为32节点的编码为 11

哈夫曼压缩流程

Huffman编码生成步骤

扫描要压缩的文件，对字符出现的频率进行计算。
把字符按出现的频率进行排序，组成一个队列。
把出现频率最低（权值）的两个字符作为叶子节点。它们的权值之和为根节点组成一棵树。
把上面叶子节点的两个字符从队列中移除，并把它们组成的根节点增加到队列。
把队列又一次进行排序。反复步骤 3、4、5 直到队列中仅仅有一个节点为止。
举个栗子：有一串“caadbaaaeccdfacabaaaaca”，进行Huffman编码和解码。

编码：

频率统计 f:1 e:1 d:2 c:5 b:2 a:12
f与 e作为叶子结点，其根节点为_2 。此时，新的频率表为：_2 d:2 c:5 b:2 a:12
d与_2作为叶子结点，其根节点为_4 。此时，新的频率表为：c:5 b:2 _4 a:12
b与 _4作为叶子结点，其根节点为_6 。此时，新的频率表为：c:5 _6 a:12
c:5与_6作为叶子结点，其根节点为_11 。此时，新的频率表为： _11 a:12
_11与 a:12作为叶子结点，其根节点为_23 。
哈夫曼树构造完成，结束。
左子树标0，右子树标1。如下图所示：

Huffman编码表
a:0 c:11 b:100 d:1010 e:10110 f:10111
那么“caadbaaaeccdfacabaaaaca”的编码为“1100101010000010110111110101011101101000000110”。

解码：
读取第一位‘1’，搜索Huffman表，找不到。继续读下一位“11”，找到c，此时对应字符‘c’。
清零，继续读第一位“0”，对应‘a’。
清零，继续读第一位“0”，对应‘a’。
清零，继续读第一位“1”找不到，继续读下一位“10”找不到，继续读“101”找不到，再读“1010”对应‘d’。
继续清零，继续读第一位‘0’，直至读到“101”，对应‘b’。
… …
读到最后，得“cdbedfaabca”。

矩阵压缩

特殊矩阵

对称矩阵
对称矩阵：矩阵中以主对角线为轴进行对称，存在 a[i][j] = a[j][i] 特点的方阵称之为对称矩阵。

该矩阵无压缩存储时，我们需要使用n * n个存储空间，但是由于它是对称的，因此我们可以只保存矩阵的上三角或者下三角，这样我们就可以得到整个矩阵模型，而使用的存储空间也会缩小到将近一半。假设我们拥有一个n * n的对称矩阵，那么我们只需要 n(n+1)/2 个存储空间就可以将整个矩阵模型保存下来。
三角矩阵
三角矩阵分为上三角矩阵和下三角矩阵。

下三角矩阵的对角线右上方元素均为零。

上三角矩阵的对角线左下方元素均为零。
下三角矩阵的压缩方式同对称矩阵的压缩方式相同，矩阵内元素与数组元素的对应位置关系也是相同的。
所以对于下三角矩阵：当 i>=j 时，a[i][j] = arr[i*(i+1)/2+j]；当 i<j 时，a[i][j] = 0；
对上三角矩阵进行压缩时：当 i<=j 时， a[i][j] = arr[i*(2*n-i+1)+j-i]；当 i>j 时，a[i][j] = 0；
对角矩阵
除了主对角线元素不为零其余所有元素均为零的矩阵。

此类型的矩阵，只需要构建一个长度为 n 的数组 arr[] 保存对角线元素即可。
当 i==j 时，a[i][j] = arr[i]；当 i != j 时，arr[i][j] = 0；
当然，这里的对角矩阵可以不符合定义，假设主对角线的上半部分值为 C，下半部分值为 D，那么可以构建一个长度为 n+2 的数组arr[] 保存对角线元素，同时最后两位保存C和D。
当i < j 时，a[i][j] = C；当 i == j 时，a[i][j] = arr[i]；当 i > j 时，arr[i][j] = D；

稀疏矩阵

稀疏矩阵：稀疏矩阵是指含有大量零元素的矩阵。
在矩阵的压缩过程中，我们可以将这个条件拓宽一些，稀疏矩阵中的零元素我们也可以换做成其他的元素，但是必须满足一个条件，就是这个元素的数量必须是大量的。
三元组法
由于在稀疏矩阵中有某一个元素是大量存在的，其他元素分布并不规律，因此不但要保存下来元素的值，还要保存元素在矩阵中的位置信息。

三元组应该这样来表示：
A[][0] = 行坐标
A[][1] = 列坐标
A[][2] = 该位置的值