[CodeForces757E]Bash Plays with Functions

题意:

定义函数fr(n)fr(n)f_r(n)在r=0r=0r=0时为整数对(p,q)(p,q)(p,q)满足p∗q=np∗q=np*q=n且gcd(p,q)=1gcd(p,q)=1gcd(p,q)=1的有序数对个数

在r≥1r≥1r\ge 1时,fr=∑u∗v=nfr−1(u)+fr−1(v)2fr=∑u∗v=nfr−1(u)+fr−1(v)2f_r=\sum_{u*v=n}\frac{f_{r-1}(u)+f_{r-1}(v)}2

qqq组询问,每次给出r,n" role="presentation" style="position: relative;">r,nr,nr,n求fr(n)mod109+7fr(n)mod109+7f_r(n)\mod 10^9+7

q≤106,0≤r≤106,1≤n≤106q≤106,0≤r≤106,1≤n≤106q\le10^6,0\le r\le10^6,1\le n\le10^6

fr(n)=∑d|nfr−1(d)fr(n)=∑d|nfr−1(d)f_r(n)=\sum_{d|n}f_{r-1}(d)

⇒fr=fr−1×1⇒fr=fr−1×1\Rightarrow f_r=f_{r-1}\times1

这里××\times表示狄利克雷卷积

然后又有f0(n)=2σ0(n)f0(n)=2σ0(n)f_0(n)=2^{\sigma_0(n)}

所以f0f0f_0是积性函数,所以frfrf_r也是积性函数

n=∏pkii⇒fr(n)=∏fr(pki)n=∏piki⇒fr(n)=∏fr(pki)n=\prod p_i^{k_i} \Rightarrow f_r(n)=\prod f_r(p^{k_i})

所以只要预处理出所有的fr(pj)fr(pj)f_r(p^j)就ok了

设dpi,j=fi(pj)=∑d|pjfi−1(pj)=∑jk=0fi−1(pk)=∑jk=0dpi−1,kdpi,j=fi(pj)=∑d|pjfi−1(pj)=∑k=0jfi−1(pk)=∑k=0jdpi−1,kdp_{i,j}=f_i(p^j)=\sum_{d|p^j}f_{i-1}(p^j)=\sum_{k=0}^j f_{i-1}(p^k)=\sum_{k=0}^j dp_{i-1,k}

前缀和优化一下就okokok了

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define re register int
#define fp(i,a,b) for(re i=a,I=b;i<=I;++i)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sdf(T&x){char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c=='-')y=-1;x=c^48;while(c=gc(),47<c&&c<58)x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=y;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
template<class T>inline void we(T x){if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';if(C>1<<20)fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;
}
const int N=1e6+5,M=1e3+5,P=1e9+7;
int f[N][22],s[N][22],pr[M],is[M];
inline int pl(re x,re y){x+=y;return x-=x>=P?P:0;}
inline int solve(re r,re n){re ans=1,m=sqrt(n),t;fp(i,1,pr[0]){if(n==1||pr[i]>m)break;t=0;while(n%pr[i]==0)n/=pr[i],++t;ans=1ll*ans*f[r][t]%P;}if(n>1)ans=1ll*ans*f[r][1]%P;return ans;
}
int main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfile("oi");#endiffp(i,2,1e3){if(!is[i])pr[++pr[0]]=i;for(re j=1,x;j<=pr[0]&&(x=i*pr[j])<=1e3;++j){is[x]=1;if(i%pr[j]==0)break;}}f[0][0]=s[0][0]=1;fp(i,1,20)s[0][i]=s[0][i-1]+(f[0][i]=2);fp(i,1,1e6)fp(j,0,20){f[i][j]=s[i-1][j];s[i][j]=pl(j?s[i][j-1]:0,f[i][j]);}re r,n,T;sdf(T);while(T--)sdf(r),sdf(n),we(solve(r,n));fwrite(sr,1,C+1,stdout);
return 0;
}

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