【学习笔记】狄利克雷卷积

基本形式

f,gf,gf,g 函数卷起来写作 f∗g(n)f * g (n)f∗g(n)，等于 ∑d∣nf(d)g(nd)\sum_{d \mid n} f (d) g (\frac{n}{d})∑d∣nf(d)g(dn)

性质：

若 f,gf, gf,g 都为（完全）积性函数，那么 f∗gf * gf∗g 也为（完全）积性函数。
f∗g=g∗ff * g = g * ff∗g=g∗f （交换律）
f∗g∗q=f∗(g∗q)f * g * q = f * (g * q)f∗g∗q=f∗(g∗q) （结合律）

例题

一、ClarkeandmathClarke \ and \ mathClarke and math

gi=∑i1∣i∑i2∣i1∑i3∣i2⋯∑ik∣ik−1fik=∑i1∣i∑i2∣i1∑i3∣i2⋯1(nik−1)∑ik∣ik−1fik⋅1(iik)=1k∗f(i)g0(i)=igk(i)=∑d∣igk−1(d)∗f(nd)\begin{aligned} g_i &= \sum_{i_1∣i}\sum_{i_2∣i1}\sum_{i_3∣i2}⋯\sum_{i_k∣i_{k−1}}f_{i_k} \\ &= \sum_{i_1∣i}\sum_{i_2∣i_1}\sum_{i_3∣i_2}⋯ 1(\frac{n}{i_{k - 1}}) \sum_{i_k∣i_{k−1}} f_{i_k} \cdot 1(\frac{i}{i_k}) \\ &= 1 ^ k * f (i) \\ g_0 (i) &= i \\ g_k (i) &= \sum_{d \mid i} g_{k - 1} (d) * f (\frac{n}{d}) \end{aligned} gig0(i)gk(i)=i1∣i∑i2∣i1∑i3∣i2∑⋯ik∣ik−1∑fik=i1∣i∑i2∣i1∑i3∣i2∑⋯1(ik−1n)ik∣ik−1∑fik⋅1(iki)=1k∗f(i)=i=d∣i∑gk−1(d)∗f(dn)

//author : LH ——Who just can eat S??t
//worship WJC ——Who can f??k tourist up and down and loves 周歆恬
//worship YJX ——Who can f??k WJC up and down
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define db double
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair <int, int>
#define MP(x,y) make_pair (x, y)
#define rep(i,j,k) for (int i = (j); i <= (k); ++i)
#define per(i,j,k) for (int i = (j); i >= (k); --i)template <typename T> T Max (T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min (T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T> T Abs (T x) { return x > 0 ? x : -x; }
template <typename T>
void read (T &x) {x = 0; T f = 1;char ch = getchar ();while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1;ch = getchar ();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';ch = getchar ();}x *= f;
}
template <typename T, typename... Args>
void read (T &x, Args&... args) {read (x); read (args...);
}
char For_Print[25];
template <typename T>
void write (T x) {if (x == 0) { putchar ('0'); return; }if (x < 0) { putchar ('-'); x = -x; }int poi = 0;while (x) {For_Print[++poi] = x % 10 + '0';x /= 10;}while (poi) putchar (For_Print[poi--]);
}
template <typename T>
void print (T x, char ch) {write (x); putchar (ch);
}const LL Mod = 1e9 + 7;LL square (LL x) { return (x * x) % Mod; }
void DEL (LL &x, LL y) { ((x -= y) < 0) && (x += Mod); }
void ADD (LL &x, LL y) { ((x += y) >= Mod) && (x -= Mod); }const int Maxn = 1e5;int t, n, k;vector <int> d[Maxn + 5];
void Euler () {rep (i, 1, Maxn)for (int j = i; j <= Maxn; j += i)d[j].push_back (i);
}struct Fold {int n;LL f[Maxn + 5];Fold () { n = 0; memset (f, 0, sizeof f); f[1] = 1; }
};
Fold operator * (Fold x, Fold y) {Fold res; res.n = x.n; res.f[1] = 0;rep (i, 1, res.n)for (auto j : d[i])ADD (res.f[i], x.f[j] * y.f[i / j] % Mod);return res;
}
Fold quick_pow (Fold x, int y) {Fold res; res.n = x.n;while (y) {if (y & 1) res = res * x;x = x * x; y >>= 1;}return res;
}int main () {// freopen ("D:\\lihan\\1.in", "r", stdin);// freopen ("D:\\lihan\\1.out", "w", stdout);Euler ();read (t);while (t--) {read (n, k);Fold f, tmp; f.n = tmp.n = n;rep (i, 1, n) read (f.f[i]);rep (i, 1, n) tmp.f[i] = 1;f = f * quick_pow (tmp, k);rep (i, 1, n) {print (f.f[i], ' ');}putchar ('\n');}return 0;
}

二、BashPlayswithFunctionsBash \ Plays \ with \ FunctionsBash Plays with Functions

fr(n)=∑u⋅v=nfr−1u+fr−1v2=∑u∣nfr−1u=∑u∣nfr−1u⋅1(nu)\begin{aligned} f_r(n) &= \sum_{u \cdot v = n} \frac{f_{r - 1} u + f_{r - 1} v}{2} \\ &= \sum_{u \mid n} f_{r - 1} u \\ &= \sum_{u \mid n} f_{r - 1} u \cdot 1 (\frac{n}{u}) \end{aligned} fr(n)=u⋅v=n∑2fr−1u+fr−1v=u∣n∑fr−1u=u∣n∑fr−1u⋅1(un)

证明 fr(n)f_r(n)fr(n) 是一个积性函数。

归纳法，假设 fr−1(n)f_{r - 1}(n)fr−1(n) 是一个积性函数。

则：

∵fr−1(n),1(n)\because f_{r - 1}(n),1 (n)∵fr−1(n),1(n) 是积性函数。
∴fr(n)\therefore f_r (n)∴fr(n) 是积性函数。

又因为 f0(n)=2k(n=∏ikpiqi)f_0(n) = 2^k(n = \prod_{i}^{k} p_i^{q_i})f0(n)=2k(n=∏ikpiqi) 是积性函数。

得证。

fr(pk)=∑i=0kfr−1(pi)f_r(p^k) = \sum_{i = 0}^k f_{r - 1}(p^i)fr(pk)=∑i=0kfr−1(pi)
f0(pk)=2f_0(p^k) = 2f0(pk)=2

我们观察到一个性质： fr(pk)f_r(p^k)fr(pk) 的取值只与 k,rk,rk,r 有关。

所以我们可以先跑一遍，预处理出 r=0r = 0r=0 ~ 1e61e61e6， k=0k = 0k=0 ~ log2(1e6)log_2 (1e6)log2(1e6) 时，fr(pk)f_r (p^k)fr(pk) 的取值。

然后求 fr(n)f_r(n)fr(n) 时就质因数分解，乘起来就好了。

//author : LH ——Who just can eat S??t
//worship WJC ——Who can f??k tourist up and down and loves 周歆恬
//worship YJX ——Who can f??k WJC up and down
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define db double
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair <int, int>
#define MP(x,y) make_pair (x, y)
#define rep(i,j,k) for (int i = (j); i <= (k); ++i)
#define per(i,j,k) for (int i = (j); i >= (k); --i)template <typename T> T Max (T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min (T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T> T Abs (T x) { return x > 0 ? x : -x; }
template <typename T>
void read (T &x) {x = 0; T f = 1;char ch = getchar ();while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1;ch = getchar ();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0';ch = getchar ();}x *= f;
}
template <typename T, typename... Args>
void read (T &x, Args&... args) {read (x); read (args...);
}
char For_Print[25];
template <typename T>
void write (T x) {if (x == 0) { putchar ('0'); return; }if (x < 0) { putchar ('-'); x = -x; }int poi = 0;while (x) {For_Print[++poi] = x % 10 + '0';x /= 10;}while (poi) putchar (For_Print[poi--]);
}
template <typename T>
void print (T x, char ch) {write (x); putchar (ch);
}const LL Mod = 1e9 + 7;LL square (LL x) { return (x * x) % Mod; }
void DEL (LL &x, LL y) { ((x -= y) < 0) && (x += Mod); }
void ADD (LL &x, LL y) { ((x += y) >= Mod) && (x -= Mod); }const int Maxn = 1e6;
const int Maxk = 20;int q, op, n;int cnt, primes[Maxn + 5];
int num[Maxn + 5], px[Maxn + 5];
bool vis[Maxn + 5];
void Euler () {rep (i, 2, Maxn) {if (vis[i] == 0) {num[i] = 1;px[i] = i;primes[++cnt] = i;}rep (j, 1, cnt) {if (primes[j] > Maxn / i) break;vis[primes[j] * i] = 1;px[i * primes[j]] = primes[j];if (i % primes[j] == 0) {num[i * primes[j]] = num[i];break;}num[i * primes[j]] = num[i] + 1;}}
}
LL f[Maxn + 5][Maxk + 5];
void Init () {f[0][0] = 1; rep (j, 1, Maxk) f[0][j] = 2;rep (i, 1, Maxn) {f[i][0] = 1;rep (j, 1, Maxk)f[i][j] = (f[i][j - 1] + f[i - 1][j]) % Mod;}
}int main () {//freopen ("D:\\lihan\\1.in", "r", stdin);//freopen ("D:\\lihan\\1.out", "w", stdout);Euler ();Init ();read (q);while (q--) {read (op, n);if (op == 0) {print (1ll << num[n], '\n');}else {LL res = 1;while (n != 1) {int p = px[n], q = 0;while (n % p == 0) {q++;n /= p;}res = res * f[op][q] % Mod;}print (res, '\n');}}return 0;
}

【学习笔记】狄利克雷卷积相关推荐

霹雳吧啦wz学习笔记1_卷积神经网络
霹雳吧啦wz学习笔记1_卷积神经网络全连接层: 全连接层就是由许许多多的神经元共同连接而得来的卷积层: 卷积就是一个滑动窗口在我们的特征图上进行滑动并计算卷积的目的:进行图像特征提取卷积核的c ...
深度学习笔记：卷积神经网络的可视化--卷积核本征模式
目录 1. 前言 2. 代码实验 2.1 加载模型 2.2 构造返回中间层激活输出的模型 2.3 目标函数 2.4 通过随机梯度上升最大化损失 2.5 生成滤波器模式可视化图像 2.6 将多维数组变换 ...
深度学习入门之PyTorch学习笔记：卷积神经网络
深度学习入门之PyTorch学习笔记绪论 1 深度学习介绍 2 深度学习框架 3 多层全连接网络 4 卷积神经网络 4.1 主要任务及起源 4.2 卷积神经网络的原理和结构 4.2.1 卷积层 1. ...
深度学习笔记：卷积神经网络的Tensorflow实现
文章出处:深度学习笔记11:利用numpy搭建一个卷积神经网络免费视频课程:Hellobi Live | 从数据分析师到机器学习(深度学习)工程师的进阶之路在上一讲中,我们学习了如何利用 nump ...
[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十. 卷积与中心极限定理
这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用. 中心极限定理(Central Limit Theorem) 中心极限定理,简称CLT.大多数概率事件,当有足够多的取样 ...
[TensorFlow 学习笔记-04]卷积函数之tf.nn.conv2d
[版权说明] TensorFlow 学习笔记参考: 李嘉璇著 TensorFlow技术解析与实战黄文坚唐源著 TensorFlow实战郑泽宇顾思宇著 TensorFlow实战Google ...
吴恩达深度学习笔记- lesson4 卷积神经网络
文章目录 Week 1 卷积神经网络基础 4.1.1 计算机视觉(Computer vision) 4.1.2 边缘检测示例(Edge detection example) 4.1.3 更多边缘检测内 ...
深度学习笔记----三维卷积及其应用（3DCNN,PointNet,3D U-Net）
目录 1.什么是三维卷积 1.1 三维卷积简介 1.2 三维卷积的工作原理 2,三维卷积核多通道卷积的区别 2.1 多通道卷积 2.2 三维卷积和多通道卷积之间的区别 2.3 总结 3,三维卷积的应用 ...
学习笔记 | 深度卷积神经网络在计算机视觉中的应用
图像识别是一种利用计算机对图像进行处理.分析和理解,以识别各种不同模式的目标和对象的技术,是计算机视觉领域的一个主要研究方向,在以图像为主体的智能化数据采集与处理中具有十分重要的作用和影响.目前图像 ...
深度学习笔记 6 卷积神经网络
目录 1.概念 2. 结构及每层详解 3. CNN特征 4. 卷积神经网络的流程 5.可变形卷积(DCN) 6.一些小问题 1. 1x1卷积作用 2. 卷积层和池化层有什么区别? 3.怎样才能减少卷积 ...

【学习笔记】狄利克雷卷积

【学习笔记】狄利克雷卷积相关推荐

最新文章

热门文章