Fredman构造法构造完备哈希

在刘璟的《计算机算法引论——设计与分析》一书中介绍了几种完备哈希(PHF)构造技术，里面提到了Fredman构造法。这本书是零几年写的比较早，光看书中介绍不太容易理解这一构造法的具体流程，搜了一下网上居然极少有这一方法的介绍，看了很多数据结构与算法的书也很少有。在这里先介绍原理与构造方法，再拿一个例子过一遍操作。

原理：

Fredman通过构造法证明了：对任意的关键字集合S⊆U，|S|=n，至多取m=3n(即m≤3n，α=n/m>0.33)，一定可以在形如

h(x)=((kx) mod N) mod n (N=|U|)

的Hash函数中找到S的PHF。相关的论文应该是这一篇Storing asparse table with O(1) worst case access time

构造方法：

已知：实际关键词集合S⊆U，|S|=n，且|U|=N为素数。

1. 对此S，先构造函数

h'(x)=((kx) mod N) mod n

用枚举法选择k值，使的

其中，b_i=|S_i|(i=0,1,…,n-1)，S_i={x|x∈S, h'(x)=i}。S_i是被h'映射为i的关键字集合。

已经证明，满足条件的k值一定存在。

2. 对于每个S_i(i=0,1,…,n-1)选择适当的k_i，构造函数h_i(x)=((k_ix)mod N) mod C_i。

其中，C_i=1+b_i(b_i-1)，使的h_i:S_i→[0..C_i-1]为单一映射函数（无冲突）。由于这时的集合S_i较小，C_i值也不大，因此k_i一定存在，且不难求。

3. 取，定义函数h: U→[0..m-1]，使对于任意X∈S

h(x)=C₀+C₁+C₂+…+C_i-1+((k_ix) mod N) mod C_i

其中，i=h'(x)=((kx) mod N) mod n。

函数h(x)就是S∈U的一个PHF。

该方法时间代价为(n·N)，空间代价为5n+C。

例子：

哈希表总共17格，关键字存放如下

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